连通性问题
连通性问题
1. 强连通分量
1.1. 算法解析
在 Tarjan 算法中为每个结点 u 维护了以下几个变量:
dfnu:深度优先搜索遍历时结点 u 被搜索的次序,即 u 的 DFS 序。
lowu:不经过 u 的祖先能到达的最小的 dfn.
显然,若 dfnu=lowu,则 u 为一个强联通分量的顶端(即最浅的点)。
1.2. 代码
int low[N], dfn[N], idx;
bool vis[N]; // vis[u] 表示节点 u 是否在栈内
stack<int> stk; // 存储所有遍历过的节点,由于每次我们只处理最浅的节点,所以可以利用栈的后进先出的特性
void tarjan(int u)
{
low[u] = dfn[u] = ++idx;
stk.push(u), vis[u] = 1;
for(auto v : g[u])
{
if(!dfn[v])
{
tarjan(v); // 若没有到达过,继续搜索
low[u] = min(low[u], low[v]);
}
else if(vis[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); // 若还在栈中,则说明可以从 u 跳到更浅的节点 v,用 v 的 dfn 来更新 low[u] 即可;若不在栈中,说明其联通分量已经被处理过了,无须再处理
}
if(low[u] == dfn[u])
{
tot++;
while(h != u) // 不断弹出强联通分量里的数,直到分量内最浅的点 u
{
h = stk.top(); stk.pop();
bel[h] = tot, siz[tot]++, vis[h] = 0;
}
}
return;
}
1.3. 例题
1.3.1 P3119 [USACO15JAN] Grass Cownoisseur G
很有意思的一道题目。
先把强连通分量缩点,然后建两层的分层图,第 i 层表示逆行 i−1 次的情况。
建新图时化边权为点权,将 (u,v) 的边权设为连通分量 u 的节点数。
注意 (1,1′) 之间也要连一条边,因为可能并没有逆行的操作(虽然不加这个也能 AC)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;
int n, m, x, y, dfn[N], bel[N], low[N], siz[N], tot, h, idx, dis[N], head[N], edges;
bool vis[N];
vector<int> g[N], G[N];
stack<int> stk;
void tarjan(int u)
{
low[u] = dfn[u] = ++idx;
stk.push(u), vis[u] = 1;
for(auto v : g[u])
{
if(!dfn[v])
{
tarjan(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
}
else if(vis[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
if(low[u] == dfn[u])
{
tot++;
while(h != u)
{
h = stk.top(); stk.pop();
bel[h] = tot, siz[tot]++, vis[h] = 0;
}
}
return;
}
struct edge
{
int to, nxt, val;
} e[N << 1];
void addedge(int u, int v, int w)
{
e[++edges] = {v, head[u], w};
head[u] = edges;
}
void spfa(int s, int t)
{
queue<int> q;
memset(vis, 0, sizeof vis);
memset(dis, 0, sizeof dis);
q.push(s), vis[s] = 1;
while(!q.empty())
{
int u = q.front(); q.pop();
vis[u] = 0;
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
{
int v = e[i].to;
if(dis[v] < dis[u] + e[i].val)
{
dis[v] = dis[u] + e[i].val;
if(!vis[v]) vis[v] = 1, q.push(v);
}
}
}
cout << dis[t];
return;
}
int main()
{
ios :: sync_with_stdio(false);
cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
cin >> x >> y;
g[x].push_back(y);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(int i = 1; i <= tot; i++)
siz[i + tot] = siz[i];
for(int u = 1; u <= n; u++)
for(auto v : g[u])
{
if(bel[u] == bel[v]) continue;
addedge(bel[u], bel[v], siz[bel[u]]);
addedge(bel[u] + tot, bel[v] + tot, siz[bel[u] + tot]);
addedge(bel[v], bel[u] + tot, siz[bel[v]]);
}
addedge(bel[1], bel[1] + tot, siz[1]);
spfa(bel[1], bel[1] + tot);
return 0;
}
2. 边双连通
2.1. 定义
边双连通图:一个无向图中任意两点都存在两条不重合路径。
边双连通分量:无向图中极大的边双连通子图。
性质:
- 没有割边。
- 任意两点之间都由有至少两条边不重复的路径。
2.2. 算法解析
搜索树上的一条边 (u,v) 是割边当且仅当 lowv>dfnu.
求边双连通分量时,找到所有割边,再用另一次 DFS 找出所有边双连通分量。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e6 + 5;
int n, m, u, v, dfn[N], low[N], tot, h, idx, head[N];
vector<int> vet[N];
bool vis[N];
struct edge
{
int to, nxt, flag;
} e[N << 1];
void addedge(int u, int v)
{
e[++tot] = {v, head[u], 0}, head[u] = tot;
}
inline void tarjan(int u, int fa)
{
low[u] = dfn[u] = ++idx;
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
{
int v = e[i].to;
if(!dfn[v])
{
tarjan(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if(low[v] > dfn[u]) e[i].flag = e[i ^ 1].flag = 1;
}
else if(dfn[v] < dfn[u] && fa != v) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
return;
}
void dfs(int u, int id)
{
vet[id].push_back(u), vis[u] = 1;
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
{
int v = e[i].to;
if(!e[i].flag && !vis[v]) dfs(v, id);
}
return;
}
int main()
{
ios :: sync_with_stdio(false);
cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >> n >> m; tot = 1;
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
cin >> u >> v;
if(u == v) continue;
addedge(u, v);
addedge(v, u);
}
tot = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i, 0);
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!vis[i]) dfs(i, ++tot);
cout << tot << '\n';
for(int i = 1; i <= tot; i++)
{
cout << vet[i].size() << ' ';
for(auto u : vet[i]) cout << u << ' ';
cout << '\n';
}
return 0;
}
3. 点双连通
3.1. 定义
点双连通图:满足以下两个条件之一的无向图。
- 顶点数不超过 2.
- 任意两点/边都在一个简单环中。
点双连通分量(V-BCC):无向图中极大的点双连通子图。
- 割点属于多个点双连通分量,是它们的交界。
3.2. 算法解析
Tarjan,DFS 时把所有边入栈,发现 lowv≥dfnu 时发现点双,退栈到 u,边上的点构成一个 V-BCC.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 5;
int n, m, u, v, tot, dfn[N], low[N], idx, bel[N];
bool c[N], r[N];
vector<int> g[N], ans[N];
stack<pair<int, int> > stk;
void tarjan(int u, int fa)
{
int son = 0;
low[u] = dfn[u] = ++idx;
for(auto v : g[u])
{
if(!dfn[v])
{
stk.push({u, v});
tarjan(v, u);
low[u] = min(low[u], low[v]);
if(low[v] >= dfn[u])
{
tot++, c[u] = 1;
pair<int, int> h;
do
{
h = stk.top(); stk.pop();
if(bel[h.first] != tot) ans[tot].push_back(h.first), bel[h.first] = tot;
if(bel[h.second] != tot) ans[tot].push_back(h.second), bel[h.second] = tot;
} while(h != make_pair(u, v));
}
if(!fa) son++;
}
else low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
if(!fa && son <= 1) c[u] = 0;
return;
}
int main()
{
ios :: sync_with_stdio(false);
cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
cin >> u >> v;
if(u == v) continue;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i, 0);
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!bel[i]) ans[++tot].push_back(i);
cout << tot << '\n';
for(int i = 1; i <= tot; i++)
{
cout << ans[i].size() << ' ';
for(auto u : ans[i]) cout << u << ' ';
cout << '\n';
}
return 0;
}
3.3. 圆方树
把原图上的点记为圆点,每个点双连通分量记为方点,所有方点向点双内的所有圆点连边,构成一颗树。
这棵树具有极好的性质,被称为圆方树。
望穿寂夜晨曦至,雄鹰展翅图九天。
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