单源最短路径，Dijkstra | 洛谷 P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

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题意

给定一个 \(n\) 个点，\(m\) 条有向边的带非负权图，请你计算从 \(s\) 出发，到每个点的距离。

数据保证你能从 \(s\) 出发到任意点。

分析

关于 SPFA，它死了。

Dijkstra 算法由荷兰计算机科学家 E. W. Dijkstra 于 1956 年发现，1959 年公开发表。是一种求解 非负权图 上单源最短路径的算法。优先队列优化的 Dijkstra 算法的时间复杂度为 \(O(m \log m)\)。

然后重复以下操作：

• 每次寻找一个 \(dis\) 最小的点，然后对所有出边进行 松弛(relax) 操作。即对于每个点 \(u\)，都用它将相邻的所有点 \(v\) 的 \(dis\) 值更新的过程。具体来说，更新过程为 \(\min(dis_v,\space dis_u + w_{u, v})\)。

直到松弛操作扩散到所有的点，算法结束。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;

struct edge{
	int to, w, nxt;
}e[N];

int n, m, u, v, w, s, head[N], dis[N];
bool vis[N];

inline void add_edge(int u, int v, int w, int id){
	e[id] = {v, w, head[u]};
	head[u] = id;
}

struct node{
	int id, dis; // 结构体记录每个点的编号和最短路长度
	bool operator < (const node &x) const{ // 重载运算符
		return dis > x.dis;
	}
};

inline void Dijkstra(int s){
	priority_queue<node> q;
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset(vis, 0, sizeof vis);
	dis[s] = 0, q.push({s, 0}); // 将起点放入队列
	while(!q.empty()){ // 当队列非空（即没有遍历完所有的店）
		u = q.top().id; q.pop(); // 取出队首（由于使用了优先队列，队首即为 dis 最小的点）
		if(vis[u]) continue;
		vis[u] = 1;
		for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].nxt){ // 遍历所有出边
			v = e[i].to;
			if(dis[v] > dis[u] + e[i].w){ // 松弛操作
				dis[v] = dis[u] + e[i].w;
				if(!vis[v]) q.push({v, dis[v]}); // 遍历到 v，则将 v 也加入队列
			}
		}
	}
	return;
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	memset(head, -1, sizeof head);
	cin >> n >> m >> s;
	for(int i = 1; i <= m; i++){
		cin >> u >> v >> w;
		add_edge(u, v, w, i);
	}
	Dijkstra(s);
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cout << dis[i] << ' '; // 依次输出每个点的 dis 值
	return 0;
}