Prufer 序列浅谈

prufer 序列完成了从一棵大小为 \(n\) 的无根树到长度为 \(n-2\) 的序列的双射，下面简述其构造过程：

• 从一棵无根树到 Prufer 序列：

找到其编号最小的叶子，然后删掉叶子，把其父亲加入队列。重复操作，直到整棵树剩下两个节点。

\(O(n\log n)\) 是显然可以做的，考虑如何 \(O(n)\)。

用一个指针，指向当前编号最小的叶子节点，然后删掉他，如果其父亲变成了叶子，并且编号比它小，我们就删掉其父亲并重复操作，否则往后推指针，找到下一个叶子。

• 从 Prufer 序列到一棵无根树：

容易发现，每个节点的度数是在 Prufer 序列中的出现次数加 \(1\)，现在知道每个点的度数，我们找到编号最小的叶子，然后删掉它，如果其父亲也变成了叶子，并且编号较小，重复这个操作，否则的话，往后推指针，找到下一个叶子。最后会剩下两个点，其中一个节点是 \(n\)，我们只需要在 Prufer 序列最后加入 \(n\) 就可以避免特判。

所以大小为 \(n\) 的有标号无根树数量为 \(n^{n-2}\)

不过更需要注意的是，上面定义的叶子是不严谨的。
prufer 序列是有标号无根树与长度为 \(n-2\) 序列的一种双射，由此可以知道有标号无根树的个数为 \(n^{n-2}\) 个。而所谓的叶子，实际上就是度数为 \(1\) 的点。而之所以定义了父亲等，是因为我们假设以 \(n\) 为根，而其一定是不会被删掉的。

可以得到比 Cayley 定理（有标号无根树个数的定理）更强的定理，如果给定了 \(k\) 个连通块，点的总数为 \(n\) ，把这些连通块连成树的方案数应该为：

\[n^{k-2}\prod s_i \]

其中 \(s_i\) 表示第 \(i\) 个连通块的大小。

考虑如何证明，首先考虑每个连通块都是一个点，设练完边后第 \(i\) 个连通块的度数为 \(d_i\)，那么有：

\[\sum\limits_{d_i\ge 1,\sum d_i=2k-2}\dbinom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1} \]

然后关注到上面这个式子每一个方案都对应着一棵树，而每个连通块都需要选出一些点来连边，这些点是可以重复选择的，由此可以得到总的方案数应该为：

\[\sum\limits_{d_i\ge 1,\sum d_i=2k-2}\dbinom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1}\prod s_i^{d_i} \]

考虑多元二项式定理：

\[(\sum\limits_{i=1}^{k}x_i)^n=\sum\limits_{\sum_{i=1}^k d_i=n}\dbinom{n}{d_1,d_2,\cdots,d_k}\prod_{i=1}^k x_i^{d_i} \]

所以可以得到原式为：

\[\prod s_i (\sum\limits_{i=1}^k x_i)^{k-2}=n^{k-2}\prod s_i \]