dsu-on-tree-浅谈

dsu on tree，有名树上启发式合并，是借助重链剖分，可以在树上快速统计子树信息的一种算法，只能完成静态问题，不支持修改。

假设我们现在想询问一个子树中某个颜色的出现次数，首先我们把询问挂在节点上，\(O(n^2)\) 的做法显然。

我们考虑这样做：假设当前子树的根为 \(k\)，我们按照下面的流程：

• 解决所有除了重儿子之外的其它儿子的子树，并把统计的信息清零。
• 解决重儿子的子树，不把统计信息清零。（注意到我们最多只能不清零一个子树的信息）。
• 然后我们统计其它轻儿子的子树的信息。
• 回答询问。
• 若 \(k\) 是重儿子，不清零，否则清零。

考虑这个算法的复杂度：

• 首先，重链剖分保证了一个点往上走最多经过 \(O(\log n)\) 条轻边。
• 一个点的信息被统计，首先是它的祖先轻边，其次是遍历到这个点，所以一个点会被统计 \(O(\log n)\) 次。
• 所以复杂度是 \(O(n\log n)\)。