长链剖分做题记录

P3565

一个很妙的 dp 设计是设 \(f_{i,j}\) 为在 \(i\) 的子树内的与 \(i\) 距离为 \(j\) 的点的个数。设 \(f_{i,j}\) 表示在 \(i\) 的子树内的满足 \(d(a,lca(a,b))=d(b,lca(a,b))=d(i,lca(a,b))+j\) 的无序点对 \((a,b)\) 的个数，其中 \(a,b\) 不相等。

这个状态不是正常人能够想到的。尤其是后面那个 \(g\)。我们考虑转移，容易发现：

\[ f_{i,j}=\sum\limits_v f_{v,j-1}\\ g_{i,j}=\sum\limits_v g_{v,j+1}+f'_{i,j}*f_{v,j-1} \]

上面的式子中，\(v\) 为 \(i\) 的一个子节点。第二个式子中的 \(f'\) 表示还没有与 \(f_v\) 合并的 \(f_i\)。

上面那个式子显然是正确的。不难发现答案其实就是：

\[ ans=\sum\limits_{u} g_{u,0}\\ ans=\sum\limits_{u}\sum\limits_{v\in son_u}\sum\limits_{i} f_{u,i}g_{v,i+1}+f_{v,i-1}g_{u,i} \]

需要注意在用指针实现的时候，一定要开一个数组当做内存池。先给每个指针一个内存空间。

#include<bits/stdc++.h>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define int long long
#define uint unsigned int
#define ull unsigned long long
#define N 500010
#define M number
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

template<typename T> inline void read(T &x) {
    x=0; int f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    x*=f;
}

struct edge{
    int to,next;
    inline void Init(int to_,int ne_){
        to=to_;next=ne_;
    }
}li[N<<1];
int head[N],tail;

inline void Add(int from,int to){
    li[++tail].Init(to,head[from]);
    head[from]=tail;
}

int n;
int *f[N],*g[N];
// int f[N][N],g[N][N];
int fa[N],Son[N],Dep[N],Deep[N],Ans,p[N<<2];
int *o=p;

inline void dfs(int k,int fat){
    fa[k]=fat;Dep[k]=Dep[fat]+1;Deep[k]=Dep[k];
    for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
        int to=li[x].to;
        if(to==fat) continue;
        dfs(to,k);Deep[k]=max(Deep[to],Deep[k]);
        if(Deep[Son[k]]<Deep[to]) Son[k]=to;
    }
}

inline void Dp(int k){
    // printf("k=%d\n",k);
    if(Son[k]){
        f[Son[k]]=f[k]+1;g[Son[k]]=g[k]-1;Dp(Son[k]);
    }
    Ans+=g[k][0];
    f[k][0]=1;
    for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
        int to=li[x].to;
        if(to==fa[k]||to==Son[k]) continue;
        // if(to==fa[k]) continue;
        int dep=Deep[to]-Dep[to];
        f[to]=o;o+=((dep+1)<<1);g[to]=o;o+=((dep+1)<<1);
        Dp(to);
        for(int i=0;i<=dep;i++){
            Ans+=f[to][i]*g[k][i+1];
            if(i) Ans+=f[k][i-1]*g[to][i];
        }
        for(int i=0;i<=dep;i++){
            g[k][i+1]+=f[k][i+1]*f[to][i];
            if(i) g[k][i-1]+=g[to][i];
            f[k][i+1]+=f[to][i];
        }
    }
}

signed main(){
    // freopen("my.in","r",stdin);
    // freopen("my.out","w",stdout);
    read(n);
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        int from,to;read(from);read(to);Add(from,to);Add(to,from);
    }
    dfs(1,1);
    f[1]=o;o+=(Deep[1]<<1);g[1]=o;o+=(Deep[1]<<1);
    Dp(1);
    printf("%lld\n",Ans);
    return 0;
}

P3899

这个题要注意的一点是，在转移的时候因为带有常数，我们用一个 \(tag_k\) 数组表示 \(f_k\) 加上 \(tag_k\) 之后才是我们原先的数组。所以我们需要对一些 \(f_k\) 上的值进行处理。

还需要注意的一点事这个题的转移范围并不是 \(f_{to}\) 的范围，因为 \(k\) 只是一个上界，实际上 \(f_k\) 后面的值还需要赋值。

说的有一点抽象，不妨试一下这个样例：

1 2
2 3
3 4
4 5
1 6
6 7

这个样例在合并信息到 \(1\) 节点的时候，转移的上界不是 \(h_2-1\)，所以我们需要对整个数组再次进行修正。

#include<bits/stdc++.h>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define int long long
#define uint unsigned int
#define ull unsigned long long
#define N 300100
#define M number
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

template<typename T> inline void read(T &x) {
    x=0; int f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    x*=f;
}

struct edge{
    int to,next;
    inline void Init(int to_,int ne_){
        to=to_;next=ne_;
    }
}li[N<<1];
int head[N],tail;

inline void Add(int from,int to){
    li[++tail].Init(to,head[from]);
    head[from]=tail;
}

struct Ques{
    int u,k,id;
    inline Ques(){}
    inline Ques(int u,int k,int id) : u(u),k(k),id(id) {}
}ques[N];

int n,q,qt,fa[N],Dep[N],h[N],Son[N],tag[N],Size[N],ans[N];
vector<int> v[N];

int p[N<<1];
int *o=p,*f[N];

inline void dfs(int k,int fat){
    fa[k]=fat;Dep[k]=Dep[fat]+1;Size[k]=1;
    for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
        int to=li[x].to;
        if(to==fat) continue;
        dfs(to,k);if(h[Son[k]]<h[to]) Son[k]=to;
        Size[k]+=Size[to];
    }
    h[k]=h[Son[k]]+1;
    for(int it:v[k]){
        ans[ques[it].id]=(Size[k]-1)*min(Dep[k]-1,ques[it].k);
    }
}

inline void Dp(int k){
    if(Son[k]){
        f[Son[k]]=f[k]+1;Dp(Son[k]);
        tag[k]=tag[Son[k]]+Size[Son[k]]-1;
        f[k][0]+=-tag[Son[k]]-Size[Son[k]]+1;
    }
    // printf("k=%d\n",k);
    // printf("tag=%d\n",tag[k]);
    // for(int i=0;i<h[k];i++){
    //     printf("%d ",f[k][i]);
    // }puts("");
    for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
        int to=li[x].to;
        if(to==fa[k]||to==Son[k]) continue;
        f[to]=o;o+=(h[to]<<1);
        Dp(to);
        for(int i=0;i<=h[to]-1;i++){
            f[k][i+1]+=f[to][i]+Size[to]-1+tag[to];
        }
        for(int i=0;i<=h[to];i++) f[k][i]-=f[to][h[to]-1]+Size[to]-1+tag[to];
        tag[k]+=f[to][h[to]-1]+Size[to]-1+tag[to];
    }
    for(int it:v[k]){
        ans[ques[it].id]+=f[k][min(ques[it].k,h[k]-1)]+tag[k];
    }
    // printf("k=%d\n",k);
    // printf("tag=%d\n",tag[k]);
    // for(int i=0;i<h[k];i++){
    //     printf("%d ",f[k][i]);
    // }puts("");
}

signed main(){
    // freopen("my.in","r",stdin);
    // freopen("my.out","w",stdout);
    read(n);read(q);
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        int from,to;read(from);read(to);
        Add(from,to);Add(to,from);
    }
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int u,k;read(u);read(k);
        ques[++qt]=Ques(u,k,i);
        v[u].push_back(qt);
    }
    dfs(1,0);
    // printf("%lld\n",ans[1]);
    f[1]=o;o+=(h[1]<<1);Dp(1);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        printf("%lld\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}

CF1009F

这个应该是比较经典的长链剖分优化 dp 了。我们只需要在更新数组的时候注意更新答案即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define dd double
#define ld long double
#define ll long long
#define uint unsigned int
#define ull unsigned long long
#define N 1001000
#define M number
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

template<typename T> inline void read(T &x) {
    x=0; int f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
    x*=f;
}

struct edge{
    int to,next;
    inline void Init(int to_,int ne_){
        to=to_;next=ne_;
    }
}li[N<<1];
int head[N],tail;

int n;

inline void Add(int from,int to){
    li[++tail].Init(to,head[from]);
    head[from]=tail;
}

int fa[N],Dep[N],h[N],Son[N];;
int p[N<<2],*o=p,*f[N];
typedef pair<int,int> P;
P ans[N];

inline void dfs(int k,int fat){
    Dep[k]=Dep[fat]+1;fa[k]=fat;
    for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
        int to=li[x].to;
        if(to==fat) continue;
        dfs(to,k);if(h[Son[k]]<h[to]) Son[k]=to;
    }
    h[k]=h[Son[k]]+1;
}

inline void Dp(int k){
    ans[k]=make_pair(INF,INF);
    if(Son[k]){
        f[Son[k]]=f[k]+1;Dp(Son[k]);ans[k]=ans[Son[k]];ans[k].second++;
    }
    f[k][0]=1;if(ans[k]>make_pair(-1,0)) ans[k]=make_pair(-1,0);
    // printf("k=%d\n",k);
    // printf("ans[k]= %d %d\n",ans[k].first,ans[k].second);
    for(int x=head[k];x;x=li[x].next){
        int to=li[x].to;
        if(to==fa[k]||to==Son[k]) continue;
        f[to]=o;o+=(h[to]+1);
        Dp(to);
        for(int i=0;i<h[to];i++){
            f[k][i+1]+=f[to][i];
            if(ans[k]>make_pair(-f[k][i+1],i+1)) ans[k]=make_pair(-f[k][i+1],i+1);
        }
    }
}

int main(){
    // freopen("my.in","r",stdin);
    // freopen("my.out","w",stdout);
    read(n);
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        int from,to;read(from);read(to);
        Add(from,to);Add(to,from);
    }
    dfs(1,0);f[1]=o;o+=(h[1]+1);Dp(1);
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i].second);
    return 0;
}