我们刚刚知道那些题的解法-6
ZR 2390
比较妙的构造题。
首先考虑那些大于 \(\frac{n}{2}\) 的质数一定是没可能了，那些小于等于 \(\frac{n}{2}\)，大于 \(\frac{n}{3}\) 的质数只能放在两边，如果能构造一种方案，满足剩下的质数都能放进去，以及所有的包含这些质数的合数，那么就一定是最优解，那么可以考虑小于 \(12\) 的进行爆搜，大于这个数的，我们把那两个特殊的质数放在两边，其余的质数之间用 \(2,3\) 公因数来链接，最后想办法把最后一个链接弄成 \(2\) 就行，一个方法是插入 \(12\)，也可以让最后一个质数是 \(2\)。不过注意处理 \(2\times 3=6\) 这种比较尴尬的情况，\(3\) 和 \(2\) 这两个质数特判一下链接地方即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=(r);i>=(l);i--)
#define cmax(a,b) (((a)<(b))?(a=b):(a))
#define cmin(a,b) (((a)>(b))?(a=b):(a))
#define Next(k) for(int x=head[k];x;x=li[x].next)
#define vc vector
#define ar array
#define pi pair
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define N 1000100
#define M number
using namespace std;
typedef double dd;
typedef long double ld;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
//#define int long long
typedef pair<int,int> P;
typedef vector<int> vi;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const dd eps=1e-9;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
vi ans,tmp;
int n,s[N],top,pr[N],ta;
bool ban[N],no[N];
inline int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
inline void dfs(int lst){
if(ans.size()<tmp.size()) ans=tmp;
rep(i,2,n){
if(!ban[i]&&(lst==0||gcd(i,lst)>1)){
ban[i]=1;tmp.pb(i);dfs(i);tmp.pop_back();ban[i]=0;
}
}
}
inline void add(int x){
if(!ban[x]) ans.pb(x),ban[x]=1;
}
int main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(n);
if(n<=12){
dfs(0);
}
else{
no[1]=1;
rep(i,2,n/2){
if(!no[i]){
pr[++ta]=i;
if(i>n/3) s[++top]=ta;
}
for(int j=1;j<=ta&&1ll*pr[j]*i<=n/2;j++){
no[pr[j]*i]=1;
if(i%pr[j]==0) break;
}
}
if(s[1]) add(pr[s[1]]),add(pr[s[1]]*2),ta=s[1]-1;
int o=2;
dec(i,1,ta){
int now=o^1,lst=o;
if(i==2) lst=2,now=4;
if(i==1&&s[2]) now=pr[s[2]];
add(lst*pr[i]);
rep(j,1,n/pr[i]){
if(j==now) continue;
add(j*pr[i]);
}
add(now*pr[i]);o^=1;
}
if(s[2]) add(2*pr[s[2]]),add(pr[s[2]]);
}
printf("%d\n",(int)ans.size());
for(int x:ans) printf("%d ",x);
return 0;
}
ZR 2426
考虑一个 naive 的 DP \(f_{l,r,k}\) 表示 \(l\) 到 \(r\) 之间的数，只考虑小于等于 \(k\) 的最优解是多少。之所以有 \(k\) 的限制是因为我们每次都是从当前考虑区间中枚举最大值的位置和最大值的值是多少，不过不难发现，如果直接把这个限制去掉，当一个最大值超过限制的时候不难发现这个时候我们的答案是算小了的，也就是说这个限制形同虚设，因为不满足这个限制的一定不是最优解。因此可以直接做区间 DP。
注意我们要求形如 \(kx-b\) 的最大值，用动态开点李超树维护即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=(r);i>=(l);i--)
#define cmax(a,b) (((a)<(b))?(a=b):(a))
#define cmin(a,b) (((a)>(b))?(a=b):(a))
#define Next(k) for(int x=head[k];x;x=li[x].next)
#define vc vector
#define ar array
#define pi pair
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define N 310
#define M 10000010
using namespace std;
typedef double dd;
typedef long double ld;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
#define int long long
typedef pair<int,int> P;
typedef vector<int> vi;
const int INF=1e18;
const dd eps=1e-9;
const int m=9e7;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
int Q[N][N],n,len[N],g[N][N][N],qs[N][N],maxx[N];
int f[N][N];
struct Node2{
int v,c;
inline bool operator < (const Node2 &b)const{
return v<b.v;
}
};
vc<Node2> v[N];
struct Node{
int K,B,ls,rs;
inline Node(){K=B=-1;ls=rs=0;}
inline Node(int k_,int b_){K=k_;B=b_;}
inline int calc(int x){return K*x+B;}
}p[M];
int tot,rt[N];
struct LCT{
inline LCT(){tot=0;}
#define ls(k) p[k].ls
#define rs(k) p[k].rs
inline void Change(int &k,int l,int r,int K,int B){
// printf("l=%lld r=%lld\n",l,r);
if(!k){
k=++tot;
assert(tot<=M);
}
if(l==r){
if(p[k].K==-1||p[k].calc(l)<Node(K,B).calc(l)) p[k]=Node(K,B);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(p[k].K==-1) p[k].K=K,p[k].B=B;
if(p[k].calc(mid)<Node(K,B).calc(mid)){
swap(K,p[k].K);swap(B,p[k].B);
}
if(p[k].calc(l)<Node(K,B).calc(l)) Change(ls(k),l,mid,K,B);
else Change(rs(k),mid+1,r,K,B);
}
inline int Ask(int k,int l,int r,int x){
// printf("l=%lld r=%lld\n",l,r);
if(!k) return -INF;
if(l==r) return p[k].calc(x);
int mid=(l+r)>>1;
int ans=p[k].calc(x);
// printf("k=%d K=%d B=%d\n",k,p[k].K,p[k].B);
if(x<=mid) ans=max(ans,Ask(ls(k),l,mid,x));
else ans=max(ans,Ask(rs(k),mid+1,r,x));
return ans;
}
}st[N];
inline int dfs(int l,int r){
if(r<l){
return 0;
}
if(f[l][r]!=-INF){
return f[l][r];
}
int &ans=f[l][r];
ans=-INF;
rep(i,l,r){
int sum=0;
sum=g[l][r][i];
int maxx=-INF;
rep(o,1,len[i]){
// ans=max(ans,dfs(l,i-1)+dfs(i+1,r)+sum*v[i][o].v-v[i][o].c);
}
ans=max(ans,dfs(l,i-1)+dfs(i+1,r)+st[i].Ask(rt[i],1,m,sum));
}
if(ans==-INF) ans=-INF-1;
return ans;
}
signed main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(n);
rep(i,1,n)rep(j,i,n) read(Q[i][j]),qs[i][j]=qs[i][j-1]+Q[i][j];
rep(i,1,n)rep(r,i,n){
int sum=0;
dec(l,1,i){
sum+=qs[l][r]-qs[l][i-1];
g[l][r][i]=sum;
}
}
rep(i,1,n){
read(len[i]);
v[i].resize(len[i]+1);
rep(j,1,len[i]){
read(v[i][j].v);read(v[i][j].c);
}
sort(v[i].begin(),v[i].end());
}
// exit(0);
rep(i,1,n){
// printf("i=%d\n",i);
rep(j,1,len[i]){
// printf("j=%d\n",j);
// printf("v[i][j].v=%d v[i][j].c=%d\n",v[i][j].v,v[i][j].c);
st[i].Change(rt[i],1,m,v[i][j].v,-v[i][j].c);
}
}
// exit(0);
rep(i,1,n)rep(j,1,n) f[i][j]=-INF;
int ans=-INF;
rep(i,1,n){
// printf("i=%d\n",i);
int sum=0;
sum=g[1][n][i];
rep(k,1,len[i]){
// int nowans=dfs(1,i-1)+dfs(i+1,n)+sum*v[i][k].v-v[i][k].c;
// ans=max(ans,nowans);
}
// printf("sum=%lld\n",sum);
// printf("maxx=%lld\n",st[i].Ask(rt[i],1,m,sum));
int nowans=dfs(1,i-1)+dfs(i+1,n)+st[i].Ask(rt[i],1,m,sum);
ans=max(ans,nowans);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
ZR 2428
考虑第二个 subtask 我们可以逐层把树给剖开，然后我们知道每一层都有哪些点，现在只需要考虑相邻两层点之间的父子关系如何确定。
考虑我们可以通过二分来确定一个点的一个儿子，那么在总询问次数 \(n\log n\) 的情况下，我们是可以通过 subtask2 的。
考虑这个做法的瓶颈在于剖叶子节点，从下往上做不行，我们考虑从上往下做，设 \(f(k)\) 函数表示把以 \(k\) 为根的子树弄好，整棵树我们认为 \(1\) 为根。
通过询问指定集合加 \(1\) 所在的最小联通块是否包含 \(k\)，我们可以知道指定集合中是否有 \(k\) 子树中的一个点，我们可以用一下算法来构造我们这棵树：
调用 \(f(k)\)，然后随便求出 \(k\) 子树内的一个没有访问到的点，如果能得到这样一个点，设为 \(x\)，调用 \(f(x)\)。否则，说明 \(k\) 的所有儿子都已经访问过，我们维护一个集合表示所有访问过但是父亲没有确定的点，我们在里面二分找出 \(k\) 的所有儿子，如果找不出来，要么找完了，要么 \(k\) 是叶子，然后把 \(k\) 加入所有访问过但是父亲没有确定的点集。
总询问次数是 \(n\log n\) 的。
#include<bits/stdc++.h>
#include"D.h"
#define mset(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=(r);i>=(l);i--)
#define cmax(a,b) (((a)<(b))?(a=b):(a))
#define cmin(a,b) (((a)>(b))?(a=b):(a))
#define Next(k) for(int x=head[k];x;x=li[x].next)
#define vc vector
#define ar array
#define pi pair
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define N number
#define M number
using namespace std;
typedef double dd;
typedef long double ld;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
//#define int long long
typedef pair<int,int> P;
typedef vector<int> vi;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const dd eps=1e-9;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
vi s,t;
vc<P> ans;
inline vi ge_ve(vi v,int l,int r){
vi now;now.clear();
rep(i,l,r) now.pb(v[i]);
return now;
}
inline bool in_subtree(vi v,int x){
v.pb(1);
return ask(v,x);
}
inline void add(int a,int b){
ans.pb(mp(a,b));
}
inline void F(int k){
// printf("k=%d\n",k);
// printf("s.size()=%d\n",(int)s.size());
while(s.size()&&in_subtree(s,k)){
int l=0,r=(int)s.size()-1;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
vi now=ge_ve(s,l,mid);
if(in_subtree(now,k)) r=mid;
else l=mid+1;
}
int x=s[l];
s.erase(s.begin()+l);
F(x);
}
// printf("Enter! k=%d\n",k);
if(!t.size()||!in_subtree(t,k)){
t.pb(k);
return;
}
// printf("t.size()=%d\n",(int)t.size());
while(t.size()&&in_subtree(t,k)){
int l=0,r=(int)t.size()-1;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
vi now=ge_ve(t,l,mid);
if(in_subtree(now,k)) r=mid;
else l=mid+1;
}
int x=t[l];
t.erase(t.begin()+l);
add(k,x);
}
t.pb(k);
// puts("End");
}
std::vector<std::pair<int,int> > work(int n){
s.clear();t.clear();
rep(i,2,n) s.pb(i);
// exit(0);
F(1);
// for(P now:ans){
// printf("%d %d\n",now.fi,now.se);
// }
return ans;
}
ZR 2427
考虑如果我们能计算 \(E(dep_x)\)，以及 \(P(l=lca(x,y))\) 的话，我们就可以得出答案了，答案相当于：
\[dep_x+dep_y-2\sum\limits_{i=1}^{x-1}P(i=lca(x,y))E(dep_i)-2E(dep_x)P(x\le y)
\]
其中 \(x\le y\) 表示 \(x\) 是 \(y\) 的祖先。减去后面的原因是可能 \(x,y\) 的 \(lca\) 是 \(x\)，这种情况发生的概率是 \(x\) 是 \(y\) 祖先的概率，这样两倍的 \(E(dep_x)\) 会被算重。
考虑 \(P(x\le y)\) 是多少，设 \(S\) 为 \(x,y\) 之间（不包括 \(x,y\)）的点所组成的点集。所以我们有：
\[P(x\le y)=\frac{a_x}{b_{y-1}}\sum\limits_{S\subseteq(x,y)}\prod\limits_{i\in S}\frac{a_i}{b_{i-1}}=\frac{a_x}{b_{y-1}}\prod\limits_{x<i<y}(1+\frac{a_i}{b_{i-1}})=\frac{a_x}{b_x}
\]
而 \(E(dep_x)\) 相当于枚举所有点为 \(x\) 祖先的概率，以及乘上对应的贡献，有：
\[E(dep_x)=c_1+c_x+2\sum\limits_{1<i<x}\frac{c_ia_i}{b_i}
\]
现在考虑如何计算 \(P(l=lca(x,y))\)，这里我们假设 \(l<x<y\)，我们把所有 \(l\) 到 \(x,y\) 上的点装入一个集合中，设为 \(S\)，不难发现对于 \(S\) 中的那些满足 \(i<x\) 的元素，既可以放在 \(l\) 到 \(x\) 路径上，也可以放在 \(l\) 到 \(y\) 路径上，所以这里要乘上一个 \(2\)，也就是说，我们需要考虑 \(S\) 对应了多少种不同的放点方法，对于每个 \(i<x\)，都有一个 \(2\) 的贡献。其余的贡献都是 \(1\)，所以我们有：
\[\begin{aligned}
P(l=lca(x,y))&=\frac{a_l^2}{b_{x-1}b_{y-1}}\sum\limits_{S_1\subset(l,x)}\sum\limits_{S_2\subset(x,y)}\prod\limits_{i\in S_1}\frac{2a_i}{b_{i-1}}\prod\limits_{i\in S_2} \frac{a_i}{b_{i-1}}\\
&=\frac{a_l^2}{b_{x-1}b_x}\prod\limits_{l<i<x}\frac{b_{i-1}+2a_i}{b_{i-1}}
\end{aligned}
\]
经过进一步的化简与预处理，我们可以在 \(O(1)\) 的复杂度内回答一个询问。
#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=(r);i>=(l);i--)
#define cmax(a,b) (((a)<(b))?(a=b):(a))
#define cmin(a,b) (((a)>(b))?(a=b):(a))
#define Next(k) for(int x=head[k];x;x=li[x].next)
#define vc vector
#define ar array
#define pi pair
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define N 1000100
#define M number
using namespace std;
typedef double dd;
typedef long double ld;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
#define int long long
typedef pair<int,int> P;
typedef vector<int> vi;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const dd eps=1e-9;
const int mod=1e9+7;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
int n,Q,a[N],c[N],b[N],sum[N],tim[N],su[N];
inline int ksm(int a,int b,int mod){
int res=1;while(b){if(b&1)res=1ll*res*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}return res;
}
inline int inv(int x){return ksm(x,mod-2,mod);}
inline int calc_dep(int x){
if(x==1) return 0;
return (c[1]+c[x]+sum[x-1]*2%mod)%mod;
}
signed main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(n);read(Q);
rep(i,1,n-1) read(a[i]);
rep(i,1,n) read(c[i]);
rep(i,1,n-1) b[i]=b[i-1]+a[i];
rep(i,2,n-1){
sum[i]=(sum[i-1]+c[i]*a[i]%mod*inv(b[i])%mod)%mod;
}
// rep(i,1,n){
// printf("%lld\n",calc_dep(i));
// }
tim[1]=1;
rep(i,2,n){
tim[i]=tim[i-1]*((b[i-1]+2*a[i]%mod)%mod)%mod*inv(b[i-1])%mod;
}
// rep(i,1,n) printf("%lld\n",tim[i]);
rep(i,1,n) su[i]=(su[i-1]+calc_dep(i)*a[i]%mod*a[i]%mod*inv(tim[i])%mod)%mod;
// rep(i,1,n) printf("%lld\n",su[i]);
rep(i,1,Q){
int u,v;
read(u);read(v);
if(u==v){
puts("0");continue;
}
if(u>v) swap(u,v);
int ans=0;
// int ans=a[u]*inv(b[u])%mod*((calc_dep(v)-calc_dep(u))%mod)%mod;
// // printf("ans=%d\n",ans);
// if(u!=1) ans=(ans+calc_dep(u)+calc_dep(v)-2*tim[u-1]%mod*inv(b[u-1]*b[u]%mod)%mod*su[u-1]%mod)%mod;
ans=(ans+calc_dep(u)+calc_dep(v)-2*tim[u-1]%mod*inv(b[u-1]*b[u]%mod)%mod*su[u-1]%mod-2*calc_dep(u)*a[u]%mod*inv(b[u])%mod)%mod;
printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
}
return 0;
}
ZR 2391
考虑操作 \(2\) 怎么做，考虑一个 \(1\) 操作等价于把之前的所有坐标进行一个统一变换，那么我们给每个 \(1\) 操作维护一个 \(tagtimes,tagadd\)，然后维护全局的 \(tagtimes,tagadd\)，每次两个标记已合并就知道某个 \(1\) 操作的坐标进行了什么样的变换。
接下来考虑操作 \(3\)，注意到末尾的一些 \(k>0\) 的 \(1\) 操作，如果在这个范围内，我们可以直接二分，只需要维护前面的第一个 \(k=0\) 的 \(1\) 操作即可，每次遇到一个 \(k=0\) 的 \(1\) 操作，如果当前操作房间号是奇数，那么就是这个 \(k=0\) 操作，否则除以 \(2\)，我们最多除 \(30\) 次 \(2\)，因为 \(x\le 10^9\)，注意如果 \(x\) 变成 \(0\)，那我们就需要知道前面第一个 \(k>0\) 的 \(1\) 操作，同样预处理一下即可。
总复杂度 \(O(n\log V)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=(r);i>=(l);i--)
#define cmax(a,b) (((a)<(b))?(a=b):(a))
#define cmin(a,b) (((a)>(b))?(a=b):(a))
#define Next(k) for(int x=head[k];x;x=li[x].next)
#define vc vector
#define ar array
#define pi pair
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define N 300010
#define M number
using namespace std;
typedef double dd;
typedef long double ld;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
#define int long long
typedef pair<int,int> P;
typedef vector<int> vi;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const dd eps=1e-9;
const int mod=1e9+7;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
int n,sum[N],tot,tag_time,tag_add,ans[N],beg[N],pre[N],pre2[N];
P tag[N];
struct Ques{
int op,g,k;
}q[N];
inline int ksm(int a,int b,int mod){
int res=1;
while(b){if(b&1)res=1ll*a*res%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}return res;
}
inline int inv(int x){return ksm(x,mod-2,mod);}
signed main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(n);
rep(i,1,n){
read(q[i].op);read(q[i].g);
if(q[i].op==2) read(q[i].k);
}
tag_time=1;
int lst=0,lst2=0;
rep(i,1,n){
if(q[i].op==1){
++tot;
if(q[i].g==0){
tag_time=tag_time*2%mod;
tag_add=tag_add*2%mod;
beg[tot]=1;
lst=tot;
}
else{
tag_add=(tag_add+q[i].g)%mod;
beg[tot]=0;
lst2=tot;
}
tag[tot].fi=inv(tag_time);
tag[tot].se=-tag_add*inv(tag_time)%mod;
pre[tot]=lst;
sum[tot]=sum[tot-1]+q[i].g;
pre2[tot]=lst2;
}
else if(q[i].op==2){
int x;
if(beg[q[i].g]==1){
x=(1+(q[i].k-1)*2)%mod;
}
else x=q[i].k-1;
int k=tag[q[i].g].fi,b=tag[q[i].g].se;
k=k*tag_time%mod;
b=b*tag_time%mod;
b=(b+tag_add)%mod;
x=(x*k+b)%mod;
printf("%lld\n",(x+mod)%mod);
}
else{
int now=tot;
bool op=0;
int ans=-1;
while(now>0){
int all_sum=sum[now]-sum[pre[now]];
int r=now,l=pre[now]+1;
if(all_sum>q[i].g){
while(l<r){
int mid=(l+r+1)>>1;
if(sum[now]-sum[mid-1]>q[i].g) l=mid;
else r=mid-1;
}
op=1;
ans=l;
break;
}
else{
q[i].g-=all_sum;
if(!q[i].g){
if(pre2[now]==0){
op=1;ans=0;break;
}
op=1;
ans=pre2[now];
break;
}
if(q[i].g&1){
if(pre[now]==0) break;
op=1;
ans=pre[now];
break;
}
now=pre[now]-1;
q[i].g=q[i].g/2;
}
}
if(!op) puts("0");
else printf("%lld\n",ans);
}
}
}
ZR 2392
建出点分树，考虑 \(dist(T,i,j)=dist(T,i,l)+dist(T,l,j)\)，其中 \(l\) 是 \(i,j\) 的 \(lca\)。这是因为 \(l\) 一定删掉后让 \(i,j\) 分属于不同的连通块，我们把两颗树的点分树都建出来，对于所有的 \(i\)，枚举 \(l_1,l_2\)，由于点分树的树高是 \(\log\) 的，所以目前复杂度是 \(n\log^2n\) 的，考虑我们要选出一个 \(j\)，满足 \(j\) 和 \(i\) 的 \(lca\) 分别是 \(l_1,l_2\)，且要求 \(j\) 到 \(l_1,l_2\) 的距离之和最小。
后面这个限制是难做的，不妨考虑让 \(j\) 为 \(l_1,l_2\) 子树中共有的点，那么如果不满足上述条件，一定还存在一种选择 \(lca\) 的方法使得答案变优，所以这个限制的宽松是正确的。
需要注意，一定要求是共有的点，因为如果 \(j\) 不在 \(l_1\) 或 \(l_2\) 的子树中，可能会导致答案变小。即我们不能让 \(i,j\) 的 \(lca\) 成为我们枚举的 \(l_1,l_2\) 的祖先。
那么宽松之后其实也不是很好做，我们可以对于第一棵树，维护点分树上每个点到其子树中的点的路径长度，然后先枚举 \(l_1\)，再枚举 \(l_1\) 子树中的点 \(i\)。对于第二棵树，维护点分树上每个点到其祖先的路径长度，枚举 \(i\) 之后再枚举 \(l_2\)，我们可以用 \(mn_{l_2}\) 中的值来进行更新，最后用 \(i\) 到 \(l_1,l_2\) 的距离之和来更新 \(mn_{l_2}\)，这样就做完了。
#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=(r);i>=(l);i--)
#define cmax(a,b) (((a)<(b))?(a=b):(a))
#define cmin(a,b) (((a)>(b))?(a=b):(a))
#define Next(k) for(int x=head[k];x;x=li[x].next)
#define vc vector
#define ar array
#define pi pair
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define N 100010
#define M number
using namespace std;
typedef double dd;
typedef long double ld;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
#define int long long
typedef pair<int,int> P;
typedef vector<int> vi;
const int INF=1e18;
const dd eps=1e-9;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
struct Tree{
int dep[N],siz[N],rt,op,max_siz[N];
vc<P> e[N],v[N];
bool vis[N];
inline void get_rt(int k,int fa,int n){
siz[k]=1;max_siz[k]=0;
for(P to:e[k])if(to.fi!=fa&&!vis[to.fi]){
get_rt(to.fi,k,n);siz[k]+=siz[to.fi];cmax(max_siz[k],siz[to.fi]);
}
cmax(max_siz[k],n-siz[k]);
if(max_siz[rt]>max_siz[k]) rt=k;
}
inline void get_dep(int k,int fa,int rt){
// printf("k=%d rt=%d\n",k,rt);
if(op) v[rt].pb({k,dep[k]});
else v[k].pb({rt,dep[k]});
for(P to:e[k])if(to.fi!=fa&&!vis[to.fi]){
dep[to.fi]=dep[k]+to.se;
get_dep(to.fi,k,rt);
}
}
inline void div(int k){
// printf("nowdiv k=%d\n",k);
vis[k]=1;dep[k]=0;get_dep(k,0,k);
// printf("div k=%d\n",k);
for(P to:e[k])if(!vis[to.fi]){
rt=0;
get_rt(to.fi,0,siz[to.fi]);
div(rt);
}
}
inline void build(int n){
// printf("build(n)=%d\n",n);
rep(i,1,n-1){
int u,v,w;read(u);read(v);read(w);
e[u].pb(mp(v,w));e[v].pb(mp(u,w));
}
max_siz[0]=INF;get_rt(1,0,n);div(rt);
}
}t1,t2;
int n,min_val[N],ans[N];
vi tmp;
inline void calc(int l1){
for(P i:t1.v[l1]){
int x=i.fi;
for(P j:t2.v[x]){
int l2=j.fi,d=i.se+j.se;
if(min_val[l2]!=-1){
cmin(ans[x],min_val[l2]+d),cmin(min_val[l2],d);
// if(x==1){
// printf("l1=%d l2=%d\n",l1,l2);
// printf("min_val[%lld]=%lld d=%lld\n",l2,min_val[l2],d);
// }
}
else{
min_val[l2]=d,tmp.pb(l2);
// if(x==1){
// puts("Here");
// printf("l1=%d l2=%d\n",l1,l2);
// printf("min_val[%lld]=%lld d=%lld\n",l2,min_val[l2],d);
// }
}
}
}
for(int x:tmp) min_val[x]=-1;
tmp.clear();
}
signed main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(n);t1.op=1;t1.build(n);t2.build(n);
// for(P now:t1.v[1]){
// printf("now.fi=%lld now.se=%lld\n",now.fi,now.se);
// }
mset(min_val,-1);
fill(ans+1,ans+n+1,INF);
rep(i,1,n){
calc(i);
reverse(t1.v[i].begin(),t1.v[i].end());
calc(i);
}
rep(i,1,n) printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
CF contest 1736 C2
显然，如果不做改动，答案应该是 \(f_i=\min(f_{i-1},a_i)\)，考虑我们改动 \(p\) 这个地方，假设能得到一个 \(q\) 表示改动后的 DP 数组（设为 \(g\)）第一个满足 \(q>i\) 且 \(g_q=a_q\) 的地方。那么显然 \(p,q-1\) 这一段的 \(g\) 应该是公差为一的等差数列，而对于 \(i<p\)，我们都有 \(g_i=f_i\)，所以我们可以很容易算出 \(g_p\) 是多少而对于 \(q,n\) 这一段的贡献，我们考虑能否预处理。
先考虑预处理，相当于我们要假设 \(f_i=a_i\)，然后计算 \(i\) 的一个后缀的所有 DP 数组的和，我们同样可以找到一个 \(q\) 表示当 \(f_i=a_i\) 时，第一个满足 \(f_q=a_q\) 的点，然后一样按照上面分析即可。
现在考虑如何得到 \(q\)，我们都是假设有一个 \(f_i=x\)，然后找一个 \(q\) 要求 \(f_q=a_q\)，这其实等价于需要找到第一个满足 \(a_q\le q+x-i\) 的 \(q\)，即 \(a_q-q\le x-i\)，在线做法可以用一个线段树加二分做到两个 \(\log\)。
实际上我们可以离线，我们所有的询问等价于对于一个后缀找到第一个小于 \(x\) 的位置，我们按照值域从小到大插入，然后每次询问把位置放进去二分即可。
这里是线段树的在线做法。
#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=(r);i>=(l);i--)
#define cmax(a,b) (((a)<(b))?(a=b):(a))
#define cmin(a,b) (((a)>(b))?(a=b):(a))
#define Next(k) for(int x=head[k];x;x=li[x].next)
#define vc vector
#define ar array
#define pi pair
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb emplace_back
#define N 200010
#define M number
using namespace std;
typedef double dd;
typedef long double ld;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
#define int long long
typedef pair<int,int> P;
typedef vector<int> vi;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const dd eps=1e-9;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
int a[N],b[N],n,m,f[N],pre[N],suf[N];
struct SegmentTree{
#define ls(k) k<<1
#define rs(k) k<<1|1
int val[N<<2];
inline void push_up(int k){
val[k]=min(val[ls(k)],val[rs(k)]);
}
inline void build(int k,int l,int r){
if(l==r){
val[k]=b[l];return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(ls(k),l,mid);build(rs(k),mid+1,r);
push_up(k);
}
inline int ask_min(int k,int l,int r,int z,int y){
if(z<=l&&r<=y){
return val[k];
}int mid=(l+r)>>1,ans=INF;
if(z<=mid) ans=min(ans,ask_min(ls(k),l,mid,z,y));
if(mid<y) ans=min(ans,ask_min(rs(k),mid+1,r,z,y));
return ans;
}
}st;
signed main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(n);rep(i,1,n) read(a[i]);
rep(i,1,n) b[i]=a[i]-i;
b[n+1]=-INF;
st.build(1,1,n+1);
rep(i,1,n) f[i]=min(f[i-1]+1,a[i]);
rep(i,1,n+1) pre[i]=pre[i-1]+f[i];
suf[n]=a[n];
// printf("spe=%lld\n",st.ask_min(1,1,n+1,4,4));
dec(i,1,n-1){
// printf("i=%d\n",i);
int l=i+1,r=n+1;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(st.ask_min(1,1,n+1,i+1,mid)<=a[i]-i) r=mid;
else l=mid+1;
}
int q=l;
// printf("q=%d\n",q);
suf[i]=suf[q]+(1+q-i)*(q-i)/2+(a[i]-1)*(q-i);
// printf("suf[i]=%d\n",suf[i]);
}
// rep(i,1,n) printf("%lld ",f[i]);puts("");
read(m);
rep(i,1,m){
int p,x;read(p);read(x);
int upt=min(f[p-1]+1,x);
if(p==n){
printf("%lld\n",pre[n-1]+upt);
continue;
}
int l=p+1,r=n+1;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(st.ask_min(1,1,n+1,p+1,mid)<=upt-p) r=mid;
else l=mid+1;
}
int q=l;
// printf("q=%lld\n",q);
int ans=pre[p-1]+suf[q];
// printf("ans=%lld\n",ans);
ans=ans+(1+q-p)*(q-p)/2+(upt-1)*(q-p);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
CF contest 1736 D
考虑 \(1\) 的个数为偶数时存在答案的必要条件，不过我们可以通过构造证明这还是一个充分条件。
考虑 \(n\) 组数，每一组数由 \(s_{2i},s_{2i+1}\) 组成，考虑哪些组内数字相同的组，我们不用去管它，因为对于 \(s_1,s_2\) 来说，它们每个人一定可以从该组一人拿一个且不会影响其余组的选取。
现在考虑那些组内数字不相同的组，首先因为 \(1\) 的个数是偶数，所以这种组的个数也是偶数，我们第一个组选 \(1\) 的位置，第二个组选 \(0\) 的位置，一次类推，然后执行循环右移操作，就可以把所有组变成数字相同。
int t,n,a[N];
string s;
vi ans;
int main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(t);
while(t--){
read(n);
n*=2;
cin>>s;
rep(i,1,n) a[i]=s[i-1]-'0';
ans.clear();
int cnt=0;
rep(i,1,n) if(a[i]) cnt++;
if(cnt&1){
puts("-1");continue;
}
for(int i=1;i<=n;i+=2){
if(a[i]==a[i+1]) continue;
else{
int len=ans.size();
int op=-1;
if(len&1) op=1;
else op=0;
if(a[i]==op) ans.pb(i);
else ans.pb(i+1);
}
}
printf("%d ",(int)ans.size());for(int x:ans) printf("%d ",x);puts("");
for(int i=1;i<=n;i+=2) printf("%d ",i);puts("");
}
}
CF contest 1736 E
考虑我们可以把后面一个大的使劲往前移，然后再往右一个一个移来使得其多次贡献。我们设 \(p_i\) 表示第 \(i\) 轮做贡献的数字原来的下标是多少，容易发现最优解一定满足 \(p\) 不降。
我们设 \(f_{i,j,k}\) 表示考虑前 \(i\) 轮的贡献，其中 \(p_i=j\)，且目前已经使用过了 \(k\) 次交换的最优解，显然如果 \(p_i=p_{i-1}\)，也就是某个往左的值往右一个一个移做出贡献，那么有 \(f_{i,j,k}\leftarrow f_{i-1,j,k-1}\)。
否则，一定是右边的某个数字交换过来，设之前的数字为 \(lst\)，那么我们就有 \(f_{i,j,k}\leftarrow f_{i-1,lst,k-cnt}\)，其中 \(cnt\) 是把 \(lst\) 移过来所需要的交换次数，由于 \(lst\) 一定是大于等于 \(i\) 的，所以我们用它的位置减去 \(i\) 就是交换次数，即 \(p_i-i\)。
代码：
这里自己懒得写了，粘贴了一份题解代码，侵删。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX=505;
vector<vector<vector<int>>> dp(MAX,vector<vector<int>>(MAX,vector<int>(MAX,-(int)(1e9))));
int main()
{
int n; cin>>n;
vector<int> a(n+5);
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
vector<vector<int>> prefix(n+5,vector<int>(n+5,0));
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int k=0;k<=i;k++){
if(k){
dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k-1]+a[j];
}
if(j>=i){
int need=j-i;
if(need>k){
continue;
}
dp[i][j][k]=max(dp[i][j][k],prefix[k-need][j-1]+a[j]);
}
}
}
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int k=0;k<=i;k++){
prefix[k][j]=max(prefix[k][j],dp[i][j][k]);
}
}
for(int j=0;j<=i;j++){
for(int k=1;k<=n;k++){
prefix[j][k]=max(prefix[j][k],prefix[j][k-1]);
ans=max(ans,prefix[j][k]);
}
}
}
cout<<ans;
}
