我们刚刚知道那些题的解法-4
初赛
考虑把这些数分成 \(n\) 组，每组内部比较，然后大的那些选最大，小的那些选最小。答案为 \(3n-2\)。
double 除 int 或者 int 除 double 的返回值都是 double，而 int 除 int 会向下取整。
300iqContest2 B
首先考虑 \(a_i\oplus a_j\le x\) 这个限制不好做，考虑转化，经过分类讨论，异或有以下性质：
证明：
\(a=c\) 是平凡的。若 \(a\not c\)，设 \(w\) 是 \(a,c\) 最高的二进制下不同的一位，因为 \(a\le b\le c\)，所以 \(b\) 从 \(w+1\) 及以上的这些位置 \(a,b,c\) 都是一样的。所以异或结果这些位上全是 \(0\)。考虑位 \(w\)，显然 \(a\) 为 \(0\)，\(c\) 为 \(1\)，而 \(b\) 不管这一位选什么总会导致 \(a\oplus b,b\oplus c\) 某一个 \(w\) 位变成 \(0\)。综上可知等式成立。
所以题目限制可以转化为相邻两个数的异或大于等于 \(x\)，于是可以设计一个 DP，设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 结尾的合法序列个数，则转移应该为：
利用 Trie 树优化可以做到 \(O(\log V)\) 的转移。
int n,X,a[N],f[N];
struct Trie{
struct Node{
int ch[2],val;
inline Node(){ch[0]=ch[1]=0;val=0;}
inline int operator [] (int id){return ch[id];}
}p[N*60];
int tot;
inline Trie(){
tot=1;
}
inline void Insert(int x,int v){
int now=1;
dec(i,0,60){
int k=(x>>i)&1;
if(!p[now][k]) p[now].ch[k]=++tot;
p[now].val=(p[now].val+v)%mod;
now=p[now][k];
}
p[now].val=(p[now].val+v)%mod;
}
inline int Ask(int x){
int ans=0,now=1;
dec(i,0,60){
if(!now) break;
int xk=(X>>i)&1;
int aik=(x>>i)&1;
if(!xk){
(ans+=p[p[now][aik^1]].val)%=mod;
now=p[now][aik];
}
else{
now=p[now][aik^1];
}
}
ans=(ans+p[now].val)%mod;
return ans;
}
}tr;
signed main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(n);read(X);rep(i,1,n) read(a[i]);
sort(a+1,a+n+1);
rep(i,1,n){
f[i]=(tr.Ask(a[i])+1)%mod;
tr.Insert(a[i],f[i]);
}
int ans=0;
rep(i,1,n){
ans=(ans+f[i])%mod;
// printf("f[%lld]=%lld\n",i,f[i]);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
ZR 2022.9.20 赠送赛 A
如果能处理一下两种询问，那么这道题就做完了：一棵树内所有点到某个点的路径之和。一棵树内两个点的距离之和。
容易发现在本题中，询问中任意的点都应该是题目中给定的点，且设 \(a\) 由 \(b,c\) 组成，那么 \(a\) 中的点会在 \(b,c\) 出现，但是 \(b,c\) 中点不会在 \(a\) 中出现，是满足左边条件的题目中给定的带你。容易发现，这样的点一共有 \(m^2\) 个。
考虑第一个询问，可以通过第二个询问把第一个询问规模缩小，且最多缩小 \(m\) 次，所以仅考虑第二个询问时间复杂度即可。
考虑第二个询问只可能是以后的一个点与这一层这个点之间的询问，所以总的询问个数应该是 \(m^3\) 的。
所以加上记忆化，总的复杂度应该是 \(m^3\) 的。
ZR 2022.9.21 赠送赛 B
场上有一个 \(n^3\) DP，设 \(f_{i,j}\) 表示玩了 \(i\) 轮，有 \(j\) 个人还活着的概率是多少，转移式是显然的，每次枚举选了那个人，死了几个人即可。
但是发现所有人都是等价的，如果我们给每个点标上号，设题目中小 R 所在的点编号为 \(n\)，那么我们可以认为选点序列是从 \(1\) 到 \(n\) 选，这样做实际上是钦定了小 \(R\) 一定是最后一个，那这样做的概率是 \(\frac{1}{n}\)，最后给答案乘上这个数即可。
接下来，设 \(f_{i,j}\) 表示该考虑 \(i\)，\(i\) 到 \(n\) 被攻击了 \(j\) 次的概率是多少。转移只需要考虑 \(i\) 是否已经被攻击没了。
CF812Div2E
首先考虑主对角线，也就是对角线上所有点的横纵坐标之和一样的对角线，发现每次一个物体移动都会从一个对角线移动到另一个对角线，这同时表明了不可能存在某一时刻，一个对角线上存在两个物体，也就是说，合并是不可能存在的。
现在考虑一个询问 \(t,x,y\)，显然如果 \(t<x+y\)，那么肯定是没有任何物体到达 \(x+y\) 这条对角线，所以一定是 NO，现在考虑 \(t\ge x+y\)，那么可能到达 \((x,y)\) 的那个位置一定是 \(t-x-y\) 时刻被放在 \((0,0)\) 的，所以 \(t-x-y-1\) 时刻之前的 \(t-x-y\) 放的都可能会对这个时刻的东西的路径产生贡献。
观察可以得到，我们可以对一些球一起做，来得到 \(x+y\) 这条对角线上每个位置的东西的个数，如果 \((a,b)\) 放了 \(k\) 个东西，那么等价于 \(\lfloor\frac{k}{2}\rfloor\) 往下走，\(\lceil\frac{k}{2}\rceil\) 往右走。这样我们只需看 \(t-x-y\) 情况下 \((x,y)\) 放的东西个数，和 \(t-x-y+1\) 情况下 \((x,y)\) 放的东西个数。
int Q,t,x,y;
int a[N][N];
inline void Calc(int x,int y,int c){
rep(i,0,min(120ll,x+y)){
rep(j,0,min(120ll,x+y)){
a[i][j]=0;
}
}
a[0][0]=c;
rep(i,0,x+y-1){
// printf("i=%lld\n",i);
rep(j,max(i-119ll,0ll),min(119ll,i)){
int nowx=j,nowy=i-j;
// printf("a[%lld][%lld]=%lld\n",nowx,nowy,a[nowx][nowy]);
if(a[nowx][nowy]){
if(nowx<119) a[nowx+1][nowy]+=a[nowx][nowy]/2;
if(nowy<119) a[nowx][nowy+1]+=(a[nowx][nowy]+1)/2;
a[nowx][nowy]=0;
}
}
}
}
signed main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(Q);
while(Q--){
read(t);read(x);read(y);
if(t<x+y){puts("NO");continue;}
Calc(x,y,t-x-y);int nowa=a[x][y];
Calc(x,y,t-x-y+1);int nownowa=a[x][y];
// printf("nowa=%lld nownowa=%lld\n",nowa,nownowa);
if(nowa==nownowa){
puts("NO");
}
else puts("YES");
}
return 0;
}
ZR 2022.9.21 C
我的 DP 是真的不行了。
考虑枚举最小的那个塞不下去的物品，那么比它小的都要放进去，比它大的，就是一个 \(01\) 背包求方案数的 DP。如果 DP 已经做不了的事情，不妨加一点限制，多是枚举一个值。
XOR
这个题没有给题目链接。题目如下：
把所有 \(a_i\oplus b_i\) 加入 Trie 树。
首先要去掉绝对值号，考虑枚举 \(x\) 的最高位，如果是 \(0\)，那么最高位为 \(1\) 对应的子树的所有 \(a,b\) 之间的最大最小值就已经确定了，剩下的我们在子树里面暴力搜索。如果 \(x\) 最高位填 \(1\)，同样暴力搜索。然后可以接着往下递归去做。
暴力搜索怎么算贡献？只需要在每个节点上统计经过这个点的数有多少个，就可以知道在某一位选择 \(0\) 还是 \(1\) 会有多大的贡献。
显然，一个点在搜索中被访问的次数是其祖先的个数。所以总的复杂度应当是 \(O(n\log^2 V)\)。
AGC044C
两个操作哪个都不会维护。
题解比较巧妙，考虑把所有的数放进三进制 \(Trie\) 中，第一个操作等价于我们交换每个节点的 \(1,2\) 儿子，而第二个操作需要我们把 \(1\) 儿子改成 \(1\) 儿子，\(1\) 儿子改成 \(2\) 儿子，\(2\) 儿子改成 \(0\) 儿子，然后别忘了进位，所以我们要从低位到高位建立 \(Trie\) 树。
进位的处理只需要递归到子树接着处理即可。复杂度是 \(\log\) 的，而第一个操作只需要打标记和标记下传。
int pw[13],n,ans[N],cnt;
inline void Init(){
pw[0]=1;
rep(i,1,12) pw[i]=pw[i-1]*3;
}
struct Trie{
struct Node{
int ch[3],End,tag,dep;
inline int& operator [] (const int id){return ch[id];}
}p[N];
int tot;
inline Trie(){
tot=1;Init();mset(p,0);
}
inline void C(int k){
swap(p[k][1],p[k][2]);p[k].tag^=1;
}
inline void PushDown(int k){
if(p[k].tag){
rep(i,0,2) C(p[k][i]);p[k].tag=0;
}
}
inline void Insert(int x){
int now=1;
rep(i,0,n-1){
int k=(x/pw[i])%3;
if(!p[now][k]) p[now][k]=++tot;
p[p[now][k]].dep=p[now].dep+1;
now=p[now][k];
}
p[now].End=x+1;
// printf("now=%d\n",now);
// printf("p[now].End=%d\n",p[now].End);
}
inline void R(){
C(1);
}
inline void dfs(int k){
if(!k) return;
PushDown(k);
int c2=p[k][2];
p[k][2]=p[k][1];
p[k][1]=p[k][0];
p[k][0]=c2;
dfs(p[k][0]);
}
inline void Inc(){
dfs(1);
}
inline void Dfs(int k){
if(!k) return;
PushDown(k);
rep(i,0,2) Dfs(p[k][i]);
}
inline void PushDownAll(){
Dfs(1);
}
inline void ddfs(int k,int sum){
// rep(i,0,2){
// printf("p[%d][%d]=%d\n",k,i,p[k][i]);
// }
if(!k) return;
PushDown(k);
if(!p[k][0]){
// printf("k=%d\n",k);
// printf("p[k].end=%d\n",p[k].End);
assert(p[k].End);
// printf("%d\n",p[k].End-1);
ans[p[k].End-1]=sum;
return;
}
rep(i,0,2){
ddfs(p[k][i],sum+pw[p[k].dep]*i);
}
}
inline void Print(){
PushDownAll();
ddfs(1,0);
}
}tr;
int main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(n);
string s;cin>>s;
rep(i,0,pw[n]-1){
tr.Insert(i);
}
// tr.Print();
// // exit(0);
int len=(int)s.length()-1;
rep(i,0,len){
if(s[i]=='S') tr.R();
else if(s[i]=='R') tr.Inc();
else assert(0);
}
tr.Print();
rep(i,0,pw[n]-1){
printf("%d ",ans[i]);
}
return 0;
}
SOJ #41
我愿称这种操作为区间覆盖加。
区间赋值是可持久化平衡树可以做的虽然我不会，但是考虑这个题是一个加法的操作。
加法！这提示我们想到卷积，考虑把一个区间 \(l,r\) 加到上面，只需要让 \(cnt_l\) 变成 \(1\) 然后对两个数组做差卷积即可。
但是这里并不是直上直下的加法，考虑 \(n\) 为 \(10^5\)，我们自然想到分块。散块直接处理了。对于整块的贡献，考虑枚举每一个块，然后对于每一个操作计算它对这个块的贡献，维护一个 \(cnt\) 数组，然后把 \(cnt\) 和 \(a\) 数组做一个差卷积即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b) memset((a),(b),sizeof((a)))
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=(r);i>=(l);i--)
#define cmax(a,b) (((a)<(b))?(a=b):(a))
#define cmin(a,b) (((a)>(b))?(a=b):(a))
#define Next(k) for(int x=head[k];x;x=li[x].next)
#define vc vector
#define ar array
#define pi pair
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define N 600010
#define M 1000100
using namespace std;
typedef double dd;
typedef long double ld;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long ull;
#define int long long
typedef pair<int,int> P;
typedef vector<int> vi;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const dd eps=1e-9;
const int mod=1004535809;
const int g=3;
template<typename T> inline void read(T &x) {
x=0; int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c == '-') f=-f;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
x*=f;
}
struct FastIO
{
#define MB (1<<20)
char ib[MB+100],*p,*q;
char ob[MB+100],*r,stk[128];
int tp;
FastIO(){p=q=ib,r=ob,tp=0;}
~FastIO(){fwrite(ob,1,r-ob,stdout);}
char read_char()
{
if(p==q)
{
p=ib,q=ib+fread(ib,1,MB,stdin);
if(p==q)return 0;
}
return *p++;
}
template<typename T>
void read_int(T& x)
{
char c=read_char(),l=0;
for(x=0;!isdigit(c);c=read_char())l=c;
for(;isdigit(c);c=read_char())x=x*10-'0'+c;
if(l=='-')x=-x;
}
void write_char(char c)
{
if(r-ob==MB)r=ob,fwrite(ob,1,MB,stdout);
*r++=c;
}
template<typename T>
void write_int(T x)
{
if(x<0)write_char('-'),x=-x;
do stk[++tp]=x%10+'0';
while(x/=10);
while(tp)write_char(stk[tp--]);
}
}IO;
int n,m,a[N],posi[N],Len,cnt[N],b[N];
int tr[N];
int A[N];
struct Ope{
int l,r,L;
}q[M];
inline int gel(int id){return (id-1)*Len+1;}
inline int ger(int id){return min(n,id*Len);}
inline void Gettr(int len){
rep(i,0,len-1) tr[i]=(tr[i>>1]>>1)|((i&1)?(len>>1):0);
}
inline int ksm(int a,int b,int mod){
int res=1;while(b){if(b&1){res=1ll*res*a%mod;}a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}return res;
}
inline int inv(int x){return ksm(x,mod-2,mod);}
inline void NTT(int *f,int n,int op){
rep(i,0,n-1) if(i<tr[i]) swap(f[i],f[tr[i]]);
for(int i=2;i<=n;i<<=1){
int tg=ksm(g,(mod-1)/i,mod);
if(op==-1) tg=inv(tg);
for(int j=0;j<n;j+=i){
int now=1;
for(int k=j;k<j+i/2;k++){
int tt=now*f[k+i/2]%mod;
f[k+i/2]=(f[k]-tt+mod)%mod;
f[k]=(f[k]+tt)%mod;
now=now*tg%mod;
}
}
}
if(op==-1){
int invn=inv(n);
rep(i,0,n-1) f[i]=f[i]*invn%mod;
}
}
signed main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
IO.read_int(n);rep(i,1,n) IO.read_int(a[i]);
IO.read_int(m);
rep(i,1,m){
// read(q[i].l);read(q[i].r);read(q[i].L);
IO.read_int(q[i].l);IO.read_int(q[i].r);IO.read_int(q[i].L);
}
Len=ceil(sqrt(log2(n)*n)*2.0);
rep(i,1,n){
posi[i]=(i-1)/Len+1;
}
rep(i,1,posi[n]){
int l=gel(i),r=ger(i);
}
rep(j,1,m){
int bl=q[j].L,br=min(n,q[j].L+q[j].r-q[j].l);
int blid=posi[bl];
int brid=posi[br];
if(blid==brid){
rep(i,bl,br){
b[i]+=a[i-q[j].L+q[j].l];
}
}
else{
rep(i,bl,ger(blid)){
b[i]+=a[i-q[j].L+q[j].l];
}
rep(i,gel(brid),br){
b[i]+=a[i-q[j].L+q[j].l];
}
}
}
int len=1;
while(len<(n+1)*2) len<<=1;
Gettr(len);
NTT(a,len,1);
rep(i,1,posi[n]){
int l=gel(i),r=ger(i);
mset(cnt,0);
rep(j,1,m){
int bl=q[j].L,br=min(n,q[j].L+q[j].r-q[j].l);
int blid=posi[bl];
int brid=posi[br];
if(blid<i&&i<brid){
int len=l-bl+1;
cnt[q[j].l+len-1]++;
}
}
reverse(cnt+1,cnt+n+1);
NTT(cnt,len,1);
rep(j,0,len) cnt[j]=cnt[j]*a[j]%mod;
NTT(cnt,len,-1);
rep(j,l,r){
int val=cnt[n+1+(j-l)];
b[j]=(b[j]+val)%mod;
}
}
// rep(i,1,n) printf("%lld\n",b[i]);
rep(i,1,n){
// printf("b[i]=%d\n",b[i]);
IO.write_int(b[i]);
IO.write_char('\n');
}
return 0;
}
Zhengrui 2022ABDay1 A
其中 \(n\le 2e5\)
闵可夫斯基和裸题。显然函数 \(f(k)\) 是一个凸函数。极差不好做，进行转化：分成 \(k\) 段，每段里面有一个 \(1\)，一个 \(-1\)，其余都是 \(0\)，问带权和最大是多少。
考虑如何合并，需要知道最左边和最右边两个区间是否都为 \(1\)，是否都为 \(-1\)，以及是不是 \(1,-1\) 都有。合并时注意我们不认为只有 \(1\) 和 \(-1\) 的区间是一个完整的区间，其次，有可能会出现一个区间里面没有任何贡献，要处理这种合并只需要直接把左右儿子区间传上来即可。
其余的合并都是平凡的。
int n,a[N];
vi v[N<<2][3][3],t[3][3];
#define ls(k) k<<1
#define rs(k) k<<1|1
inline void Merge(vi b,vi c,vi &d,int o){
int n=(int)b.size()-1,m=(int)c.size()-1;
for(int i=0,j=0;i<=n&&j<=m;){
cmax(d[i+j+o],b[i]+c[j]);
if(j==m||(i<n&&b[i+1]-b[i]>c[j+1]-c[j])) i++;
else j++;
}
}
inline void PushUp(int k){
rep(i,0,2)rep(j,0,2){
Merge(v[ls(k)][i][0],v[rs(k)][1][j],v[k][i][j],1);
Merge(v[ls(k)][i][1],v[rs(k)][0][j],v[k][i][j],1);
Merge(v[ls(k)][i][2],v[rs(k)][2][j],v[k][i][j],0);
}
}
inline void Divid(int k,int l,int r){
rep(i,0,2)rep(j,0,2) v[k][i][j].resize(r-l+1+1,-INF);
if(l==r){
v[k][2][2][0]=v[k][2][2][1]=0;
v[k][0][2][0]=v[k][2][0][0]=-a[l];
v[k][1][2][0]=v[k][2][1][0]=a[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
Divid(ls(k),l,mid);Divid(rs(k),mid+1,r);
rep(i,0,2)rep(j,0,2){
rep(o,0,mid-l+1) cmax(v[k][i][j][o],v[ls(k)][i][j][o]);
rep(o,0,r-mid) cmax(v[k][i][j][o],v[rs(k)][i][j][o]);
}
PushUp(k);
}
signed main(){
// freopen("my.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
read(n);rep(i,1,n) read(a[i]);
Divid(1,1,n);
rep(i,1,n){
printf("%lld\n",v[1][2][2][i]);
}
return 0;
}
