筛法对比

杜教筛

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• 时间复杂度 \(O(n^\frac{2}{3})\)

• 要求：构造一个 \(g\) 满足 \((f*g)\) 易于计算前缀和，\(g\) 易于计算前缀和。注意并没有要求 \(g\) 和 \(f*g\) 是一个积性函数。

杜教筛可以多次运用，例如筛 \(f=\phi*\phi*\mu\)，可以筛 \(f*I=\phi*\phi\)，这样只需要解决 \(g=\phi*\phi\) 的前缀和即可。以此类推，复杂度还是 \(n^{\frac{2}{3}}\)。

Min25 筛

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• 时间复杂度：玄学，但是可以 \(2s\) 跑 \(10^{10}\)
• 要求：构造一个 \(g\)，满足 \(g\) 和 \(f\) 在质数处的取值一样，且存在若干完全积性函数 \(g_1,g_2,\cdots,g_k\) 满足 \(g=a_1g_1+a_2g_2+\cdots+a_kg_k\)。

Powerful Numbers

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• 时间复杂度：\(O(\sqrt{n})\)
• 要求：构造一个积性函数 \(g\)，满足 \(g\) 和 \(f\) 在质数处的取值一样，且 \(g\) 易于计算前缀和。

狄利克雷卷积前缀和

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• 时间复杂度： \(O(n^\frac{2}{3})\)

• 要求：对于给定 \(g,f\)，要能很快算出 \(h,g\) 在 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 处的前缀和。