后缀数组

构造后缀数组

我们会得到两个数组 \(sa_i\) 表示排名为 \(i\) 的后缀是哪一个，\(rk_i\) 表示后缀 \(i\) 的排名。

这里只讲倍增做法。

原理非常简单，如下图：

实现需要一个对两位关键字进行排序的基数排序，设 \(y_i\) 表示按照第二维关键字排序，排名为 \(i\) 的是哪一个位置。设 \(rk_i\) 表示第 \(i\) 个位置，第一维关键字排序，排名是多少。

我们按照 \(i\) 从小到大把 \(rk_{y_i}\) 加入我们的桶中（我们用桶排来实现），对桶做前缀和之后，从大到小枚举 \(n\)，按照 \(rk_{y_i}\) 来重新计算每个位置的排名。

这样做正确性显然，考虑如果两个位置第二维关键字排名不同，而第一维相同，那么排名越大的会先被枚举到，导致排名变大。如果第一维就不同，那么第一维更优的显然会排名更小。

所以就可以简单构造了，具体代码请到代码仓库。

求 height

LCP 的定义是最长公共前缀，以下用 \(LCP(i,j)\) 表示编号为 \(i\) 的后缀和编号为 \(j\) 的后缀的 LCP，我们令 \(Height_i=LCP(sa_i,sa_{i-1})\)，而 \(Height_1\) 可以视作 \(0\)。我们考虑如何求 \(Height\) 数组。

• 引理：\(Height_{rk_i}\ge Height_{rk_{i-1}}-1\)。

证明：如果 \(Height_{rk_{i-1}-1}\) 小于等于 \(1\)，那么上面这个式子显然成立，这是因为 \(Height_i\ge 0\)。

如果 \(Height_{rk_{i-1}-1}>1\)，我们考虑设后缀 \(i-1\) 为 \(aAD\)，那么后缀 \(i\) 就是 \(AD\)，其中 \(A\) 是一个长度为 \(Height_{rk_{i-1}}-1\) 的字符串，由于 \(Height\) 数组的定义，我们考虑后缀 \(sa_{rk_{i-1}-1}\) 这个字符串一定是 \(aAB\) 的形式，所以 \(sa_{rk_{i-1}-1}+1\) 这个后缀一定是 \(AB\) 的形式，所以这个后缀一定排在后缀 \(i\) 的前面，所以我们可以知道 \(Height_{rk_i-1}\) 一定包含字符串 \(A\)，所以结论成立。

我们利用上面这个东西就可以 \(O(n)\) 的来求 \(Height\) 数组了。

有一个结论是 \(LCP(sa_i,sa_j)=\min_{i+1\le k\le j}Height_k\)，这个可以感性理解一下，如果 \(Height\) 一直大于某个值，那么这一段就一直有，反之，肯定是在一个后缀中改变。