狄利克雷卷积前缀和

给定积性函数 \(f,g\)，且已经得到 \(f,g\) 所有 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 处的前缀和 \(F,G\)，现在要求 \(h=f*g\) 所有 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 处的前缀和。

简单推导后可得：

\[H(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)G(\frac{n}{i}) \]

可以整数分块，对于所有的 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 来说，如果直接做的话，复杂度是：

\[\int _1^{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{n}{x}}dx=n^{\frac{3}{4}} \]

实际上，我们可以利用杜教筛一样的预处理，对于所有 \(n^{\frac{2}{3}}\) 以内的 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，全都预处理。这样的复杂度应该为：

\[\int _1^{n^{\frac{1}{3}}}\sqrt{\frac{n}{x}}dx=O(n^{\frac{2}{3}}) \]

由于 \(h\) 是积性函数，所以可以利用线性筛直接筛出来，预处理的部分复杂度也是 \(O(n^{\frac{2}{3}})\) 的。