单位根反演
命题如下：
\[\forall k\in Z,[n|k]=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}
\]
证明：
设 \([n|k]=1\)，则根据单位根性质，我们可以得到：
\[\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}=n
\]
设 \([n|k]=0\)，则：
\[\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}=\frac{\omega_n^{nk}-1}{\omega_n^{k}-1}=0
\]
由此可知式子成立。
由此可知，如果想要知道一个多项式特定倍数次项的系数之和，就可以这么做：
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i=0}^{\left\lfloor \frac nk \right\rfloor}[x^{ik}]f(x)&=\sum\limits_{i=0}^n[k|i][x^i]f(x)\\
&=\sum\limits_{i=0}^n [x^i]f(x)\frac 1k\sum\limits_{j=0}^{k-1}\omega_k^{ji}=\frac 1k \sum\limits_{i=0}^na_i\sum\limits_{j=0}^{k-1}\omega_n^{ji}\\
&=\frac 1k \sum\limits_{j=0}^{k-1}\sum\limits_{i=0}^na_i(\omega_n^{j})^i=\frac 1k \sum\limits_{j=0}^{k-1}f(\omega_n^j)
\end{aligned}
\]
一个推论
\[[a=b]=\frac 1n \sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_n^{(a-b)i}(a,b<n)
\]
证明是显然的。
