抽象代数 1

基本概念和引理

• 代数系统：在一个集合上 $S$ 定义一个二元运算 $\times$，如果二元运算满足封闭性，则称 $(S,\times )$ 为一个代数系统。
• 半群：如果一个代数系统二元运算满足结合律，那么这个代数系统称为半群。
• 幺半群：如果一个半群里面有幺元（单位元），那么这个群为幺半群。
• 群：如果一个幺半群里面每个元素都有逆元，则这个幺半群是个群。
• Abel 群：如果一个群满足交换律，那么这个群是一个 Abel 群。
• 循环群：如果一个 Abel 群有一个生成元 $g$，也就是说，任意群内的元素可以被表示为 $g^k$，则这个群为一个循环群。

如图：

• 环：环是定义了两个运算 $+,\times$ 的集合 $S$，满足 $(S,+)$ 是阿贝尔群，且乘法关于加法有分配率，乘法具有结合律。

• 域：域是定义了两个运算 $+,\times$ 的集合 $S$ 满足 $(S,+)$ 和 $(S\mathrm{\setminus }0,\times )$ 都是阿贝尔群，其中 $0$ 是 $(S,+)$ 的单位元。

• 子群：设 $H$ 是 $G$ 的子集，若 $H$ 在 $G$ 的运算里构成群，则称 $H$ 为 $G$ 的子群。记作 $H\le G$

• 对于子群而言，以下三个定义等价：

• • $H\le G$
• • 对任意的 $a,b\in H$ 有 $ab\in H,a^{-1}\in H$
• • 对任意的 $a,b\in H$ 有 $a{b}^{-1}\in H$

证明：互相推导是显然的，只需要注意因为 $H$ 中定义的二元运算就是 $G$ 中定义的，所以一定满足结合律。

• 陪集：设 $H\le G$ 则可以给出 $G$ 上的一个等价关系，$a\sim b\iff \exists h,a=bh$，可以简单证明这个关系确实是等价关系，且 $a$ 的等价类是 $aH$，这个等价类是 $G$ 的一个左陪集，同时也可以由等价关系得到，$G$ 实际上是左陪集的无交并，任意一个元素一定属于一个等价类：$a\in aH$。

  推论：任意有限群的子群大小一定是其大小的因数。

  阶：设 $a$ 为群 $G$ 中的一个元素，则满足 $a^n=e$ 的最小的 $n$ 称为 $a$ 的阶。

  推论：任意元素的阶一定是群大小的因数。因而若群大小是质数，则一定是循环群。

证明：对于一个元素 $a$，所有的 $a^n$ 组成一个群，所以阶数一定为群大小的因数。

• 正规子群：设 $H$ 为 $G$ 的子群，若对于任意 $g\in G,h\in H$ 都存在 $h^{\prime }\in H$ 使得 $gh=h^{\prime }g$，则称 $H$ 为 $G$ 的正规子群，记为 $H⊴G$。

  等价定义 $1$：若 $H$ 所有左陪集与右陪集相等，即 $\mathrm{\forall }a,aH=Ha$，则 $H$ 是正规子群。

  等价定义 $2$：若 $\mathrm{\forall }g\in G,h\in H,gh{g}^{-1}\in H$，则 $H$ 是正规子群。

证明：显然。

• 商群：给定群 $G$，设 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $H$ 的所有左陪集在群定义二元运算下满足群的性质，这个群称为 $G$ 关于 $H$ 的商群。记作 $L=G/H$，定义 $L$ 上的乘法为 $a_{1}H\times a_{2}H=(a_1\times a_2)H$

• 对于商群的定义来说，其良定义当且仅当 $H$ 是正规子群。

证明：充分性：若 $H$ 是正规子群，则 $\mathrm{\forall }{h}_1,h_2\in H$ 都有 $a_1{h}_{1}H\times a_2{h}_{2}H=(a_1{h}_1{a}_2{h}_2)H=(a_1{a}_2{h}_1^{\prime }{h}_2)H=(a_1{a}_2)H$。显然良定义。
必要性：$\mathrm{\forall }g\in G,h_1,h_2\in H$，我们需要让 $(g{h}_1{g}^{-1}{h}_2)H=g{h}_{1}H\times g^{-1}{h}_{2}H=gH\times g^{-1}H=H$，因此必然要有 $g{h}_1{h}^{-1}$，这正是正规子群的定义。

• 推论：$|H||G/H|=|G|$

• 推论：对于一个 Abel 群，其任意子群都是正规子群。

• 同态：对于群 $G,H$，存在映射 $f:G\to H$，使得 $\mathrm{\forall }a,b\in G,f(ab)=f(a)f(b)$，则 $G,H$ 同态。
  同时定义 $\ker f=\{g|f(g)=1_H,g\in G\}$，即所有能被映射到 $H$ 单位元的 $G$ 中的值，这显然是一个群。同时，$\mathrm{im}f$ 定义为 $f(G)$，为 $f$ 的像。$\ker f$ 称为 $f$ 的核。

  若 $f$ 是双射，则称 $G,H$ 同构，成 $f$ 为 $G$ 和 $H$ 同构映射，并且记为 $G\cong H$。

• 群的直积：两个群的直积定义为 $H=G_1\times G_2=\{(g_1,g_2)|g_1\in G_1,g_2\in G_2\}$，乘法定义为 $(g_1,g_2)\times (g_1^{\prime },g_2^{\prime })=(g_1{\times }_{G_1}{g}_1^{\prime },g_2{\times }_{G_2}{g}_2^{\prime })$。

  显然的 $|H|=|G_1||G_2|$，并且 $G_1^{\prime }=\{(g_1,1_{G_2})|g_1\in G_1\}$ 和 $G_2^{\prime }=\{(1_{G_1},g_2)|g_2\in G_2\}$ 都是 $H$ 的 $H$ 正规子群。

同构基本定理与同构第二定理

• 同构基本定理：
  设 $f:G\to H$ 为一个同态，则 $\ker f$ 是正规子群且 $G/\ker f\cong \mathrm{im}f$。

证明：首先证明 $\ker f$ 是一个正规子群，考虑 $f(gk{g}^{-1})$ 的值，其中 $k\in \ker f,g\in G$，根据定义，有：

$$f(gk{g}^{-1})=f(g)f(k)f(g^{-1})=f(g)f(g^{-1})=f(1_G)=1_H$$

所以 $\ker f$ 是一个正规子群。

接下来证明 $\mathrm{im}f$ 是一个子群，对于 $a_1,b_1\in \mathrm{im}f,\exists a,b,s.t.f(a)=a_1,f(b)=b_1$，于是 $a_1{b}_1^{-1}=f(a)f(b{)}^{-1}=f(a{b}^{-1})\in \mathrm{im}f$，故 $\mathrm{im}f\le H$。

以上证明了关于 $f$ 的像与核的一些简单性质。以下记 $H=\mathrm{im}f$

令 $\phi :G/\ker f\to H$ 定义为 $\phi (g\ker f)=f(g)$。要证明 $\phi$ 良定义需要证明对于 $a,b$ 满足 $aH=bH\Rightarrow b\in aH$ 来说，$\phi (aH)=\phi (bH)$。实际上这确实是成立的：$\phi (bH)=f(b)=f(ah)=f(a)f(h)=f(a)=\phi (aH)$。

同时 $\phi (g_1\ker f\times g_2\ker f)=\phi (g_1{g}_2\ker f)=f(g_1{g}_2)=f(g_1)f(g_2)=\phi (g_1\ker f)\phi (g_2\ker f)$，所以 $\phi$ 是同态映射。实际上，只需要说明 $\ker \phi =\{H\}$ 即可，因为 $H$ 是 $G/H$ 的幺元，这个定理我们会在后面证明，这里先假设其成立。于是有 $\phi (aH)=e_1\Rightarrow f(a)=e_1\Rightarrow a\in H\Rightarrow aH=H\Rightarrow \ker \phi =H\Rightarrow$ $\phi$ 是单射，而对于 $f(g)$ 来说，有 $\phi (g\ker f)=f(g)$，所以又是满射。所以 $\phi$ 是同构映射。

• 设 $\phi :G\to H$ 是群同态，则 $\phi$ 单 $\iff \ker \phi =\{e_G\}$

证明：$\phi$ 不是单射 $\iff \exists a,b\in G,s.t.a\ne b,\phi (a)=\phi (b)\iff \phi (a{b}^{-1})=\phi (a)\phi (b{)}^{-1}=e_H\iff \ker \phi \supseteq \{a{b}^{-1},e\}\iff \ker \phi \ne \{e\}$。

• 推论：令 $H=G_1\times G_2$，则 $H/G_1^{\prime }\cong G_2,H/G_2^{\prime }\cong G_1$。

证明：这里只证明前者，后者类似。

构造 $f((g_1,g_2))=g_2$，这样的话 $\ker f=\{(g_1,e)\}$。由同构基本定理就可以得到推论。

• 推论：设 $\phi :G\to H$ 为群的满同射，则 $G/\ker \phi \cong G_1$。
• 同构第二定理：设 $H,K⊴G,H\le K$ 则 $\frac{G/H}{K/H}=\frac{G}{K}$。即“除数”可约。

证明：首先有 $H⊴K$，这是显然的，因为 $K\le G$，且对于 $g\in G$ 有 $gH=Hg$。

构造映射 $f:G/H\to G/K:f(gH)=gK$。

首先证明 $f$ 是良定义的，对于 $aH=bH$，有 $f(aH)=aK=aHK=bHK=bK=f(bH)$。

而 $f$ 是同态映射：$f(g_{1}H\times g_{2}H)=f(g_1{g}_{2}H)=g_1{g}_{2}K=g_{1}K\times g_{2}K=f(g_{1}H)f(g_{2}H)$。

显然，对于 $gK$，一定有 $gH$ 能映射到它，因此 $f$ 是满同态。由同态基本定理得：$\frac{G/H}{\ker f}=\frac{G}{K}$。现在只需要证明：$\ker f=K/H$。

有 $f(gH)=gK=K\iff g\in K\iff gH\in K/H$。于是 $K/H=\ker f$。

轨道稳定集定理

• 给定非空集合 $S$ 和置换群 $G$，这里 $G$ 中元素为置换，二元运算定义为 $f_1\times f_2=f_1\circ f_2$，即先做置换 $f_2$ 再做置换 $f_1$ 得到的置换。

• 设 $F_u=\{f(u)|f\in G\}$ 为 $u$ 的轨道，$P_u=\{f|f(u)=u\}$ 为 $u$ 的稳定集，则有 $|F_u||P_u|=G$

证明：值得一提的是 $F_u\subseteq S,P_u\le G$。

考虑 $G$ 的陪集分解：$f_1{P}_u\cup f_2{P}_u\cup \cdots f_k{P}_u$，显然 $f_i{P}_u$ 中所有的置换作用在 $u$ 上得到的结果相同。而实际上，不同陪集的置换作用在 $u$ 上得到的结果不同，这是因为如果作用的结果相同，不妨设两个置换为 $f_1,f_2$，那么 $f_2$ 肯定可以与若干个 $P_u$ 中的置换复合得到 $f_1$，这与 $f_1,f_2$ 属于不同陪集的前提不相符。

所以，陪集分解的数量应该就是 $|F_u|$，而每个陪集的大小都是 $P_u$，所以可知定理成立。

Bunside 引理

现在给定集合 $S$ 和置换群 $G$，现在定义如果两个 $S$ 中的元素可以通过置换得到，那么就认为它们相等。求本质不同的元素个数。

我们让每个轨道中的元素的贡献是轨道大小分之一即可。即：

$$\sum _{u\in S}\frac{1}{|F_u|}=\sum _{u\in S}\frac{|P_u|}{|G|}=\frac{1}{|G|}\sum _{p\in G}\sum _{s\in S}[p(s)=s]$$

后者就是 Burnside 引理的形式。

无标号无向图计数#

阿贝尔群基本定理

• 阿贝尔群的任意子群都是正规子群。

• 阿贝尔群的商群也是阿贝尔群。

• 阿贝尔群基本定理内容：对于任意阿贝尔群 $A$，它一定可以唯一的写成：

$$A\cong {\mathbb{Z}}_{a_1}\times {\mathbb{Z}}_{a_2}\times \cdots \times {\mathbb{Z}}_{a_k}\times {\mathbb{Z}}^r$$

其中 $a_1|a_2|\cdots |a_k$。${\mathbb{Z}}_i$ 为 $modi$ 意义下的加法群。若 $A$ 是有限群，则 $r=0$。

证明过于复杂，略过。

• 给定 $n$ 求 $n$ 阶阿贝尔群的个数，由于 $n$ 很大，以质因数分解的形式给出 $n=\sum _{i=1}^m{p}_i^{a_i}$。$1\le m\le {10}^6$。

根据上面的定理内容，我们考虑 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ 的值，实际上我们是需要对于每个质数 $p_i$，把它的指数 $a_i$ 拆成若干个数字的，也就是一个划分数，而答案就是若干划分数的乘积。

• 推论：若 $(p,q)=1$，则 ${\mathbb{Z}}_{pq}={\mathbb{Z}}_p\times {\mathbb{Z}}_q$

证明：只需要证明等号右边是循环群即可，实际上等号右边确实是循环群，生成元是 $(1,1)$。

• 推论：有限的阿贝尔群一定可以写成如下形式：

$$\prod {\mathbb{Z}}_{p_1}^{{\alpha }_{1,i}}\prod {\mathbb{Z}}_{p_2}^{{\alpha }_{2,i}}\cdots \prod {\mathbb{Z}}_{p_k}^{{\alpha }_{k,i}}$$

其中 $p_1,p_2,\cdots ,p_k$ 是质数。

Lagrange 定理

• 域 $F$ 上的任意 $n$ 次多项式在 $F$ 内至多有 $n$ 个根。

证明：可以简单归纳证明。

• 推论：域 $F$ 上的阿贝尔乘法群 $F^{\times }$ 的任意有限子群都是循环群。

证明：$f^{\times }$ 即为 $F$ 域定义中的 $(S/0,\times )$。设子群 $G$，分解可得：

$$G={\mathbb{Z}}_{a_1}{\mathbb{Z}}_{a_2}\cdots {\mathbb{Z}}_{a_k}$$

因为 $a_1|a_2|\cdots |a_k$，所以 $G$ 是循环群当且仅当 $k=1$。若 $k>1$，显然 $G$ 中 $1^F$ 对应的元素应该是 $(0,0,\cdots ,0)$，而对于 $G$ 中的一个元素对应的元素 $(b_1,b_2,\cdots ,b_k)$ 来说，其 $a_k$ 次方一定是 $1^F$，所以对于 $F$ 域下的一个方程 $x^{a_k}-1^F=0^F$ 来说，按照 lagrange 定理，其应该只多有 $a_k$ 个根，但是 $G$ 中的每个元素都是这个方程的根，且一共有 $a_1{a}_2\cdots ,a_k$ 个元素。矛盾。

Z 上的乘法群

令 ${\mathbb{Z}}_n^{\times }$ 为 $modn$ 意义下的乘法群，显然 $|{\mathbb{Z}}_n^{\times }|=\phi (n)$。因为群要求有逆元，而只有与 $n$ 互质的数有逆元。

• 欧拉定理：若 $(n,m)=1$ 则 $m^{\phi (n)}=1modn$。

证明：$m\in Z_n^{\times }$，设 $m$ 的阶是 $p$，则有 $m^p=1$，而根据 lagrange 定理，有 $p|\phi (n)$，故成立。

• 定理：若 $(p,q)=1$，则 ${\mathbb{Z}}_{pq}^{\times }\cong {\mathbb{Z}}_p^{\times }\times {\mathbb{Z}}_q^{\times }$。

证明：构造映射 $f:{\mathbb{Z}}_{pq}^{\times }\to {\mathbb{Z}}_p^{\times }\times {\mathbb{Z}}_q^{\times }:f(n)=(nmodp,b\mathrm{mod}q)$。

证明是同态：$f(nm)=(nmmodp,nmmodq)=f(n)f(m)$。

证明是双射：根据中国剩余定理，对于右边任意一个 $(a,b)$，可以找出在 $modpq$ 下的唯一解 $n$。而 $f(n)=(a,b)$。

所以定理成立。

威尔逊定理

• 设 $p$ 为质数，则 $(p-1)!\equiv -1modp$
• 若 $p$ 为质数，则 $(p^q){!}_p\equiv -1modp$，其中 $(n!{)}_m$ 表示所有小于等于 $n$ 且与 $m$ 互质的正整数的乘积。

证明：若 $n$ 的原根存在，设为 $g$，则 $(n!{)}_n\equiv g^{\frac{\phi (n)(\phi (n)-1)}{2}}modm$。

而 $g^{\phi (n)(\phi (n)-1)}\equiv 1$，所以 $(n!{)}_n$ 要么是 $-1$ 要么是 $1$，取决于 $\phi (n)|\frac{\phi (n)(\phi (n)-1)}{2}$ 是否成立。

因此若 $\phi (n)$ 是偶数，则乘积为 $-1$，否则乘积为 $1$。

于是两个定理都是显然的。