抽象代数 1

基本概念和引理

• 代数系统：在一个集合上 \(S\) 定义一个二元运算 \(\times\)，如果二元运算满足封闭性，则称 \((S,\times)\) 为一个代数系统。
• 半群：如果一个代数系统二元运算满足结合律，那么这个代数系统称为半群。
• 幺半群：如果一个半群里面有幺元（单位元），那么这个群为幺半群。
• 群：如果一个幺半群里面每个元素都有逆元，则这个幺半群是个群。
• Abel 群：如果一个群满足交换律，那么这个群是一个 Abel 群。
• 循环群：如果一个 Abel 群有一个生成元 \(g\)，也就是说，任意群内的元素可以被表示为 \(g^k\)，则这个群为一个循环群。

如图：

• 环：环是定义了两个运算 \(+,\times\) 的集合 \(S\)，满足 \((S,+)\) 是阿贝尔群，且乘法关于加法有分配率，乘法具有结合律。

• 域：域是定义了两个运算 \(+,\times\) 的集合 \(S\) 满足 \((S,+)\) 和 \((S\backslash 0,\times)\) 都是阿贝尔群，其中 \(0\) 是 \((S,+)\) 的单位元。

• 子群：设 \(H\) 是 \(G\) 的子集，若 \(H\) 在 \(G\) 的运算里构成群，则称 \(H\) 为 \(G\) 的子群。记作 \(H\le G\)

• 对于子群而言，以下三个定义等价：

• • \(H\le G\)
• • 对任意的 \(a,b\in H\) 有 \(ab\in H,a^{-1}\in H\)
• • 对任意的 \(a,b\in H\) 有 \(ab^{-1}\in H\)

证明：互相推导是显然的，只需要注意因为 \(H\) 中定义的二元运算就是 \(G\) 中定义的，所以一定满足结合律。

• 陪集：设 \(H\le G\) 则可以给出 \(G\) 上的一个等价关系，\(a\sim b \Leftrightarrow ∃ h,a=bh\)，可以简单证明这个关系确实是等价关系，且 \(a\) 的等价类是 \(aH\)，这个等价类是 \(G\) 的一个左陪集，同时也可以由等价关系得到，\(G\) 实际上是左陪集的无交并，任意一个元素一定属于一个等价类：\(a\in aH\)。

  推论：任意有限群的子群大小一定是其大小的因数。

  阶：设 \(a\) 为群 \(G\) 中的一个元素，则满足 \(a^n=e\) 的最小的 \(n\) 称为 \(a\) 的阶。

  推论：任意元素的阶一定是群大小的因数。因而若群大小是质数，则一定是循环群。

证明：对于一个元素 \(a\)，所有的 \(a^n\) 组成一个群，所以阶数一定为群大小的因数。

• 正规子群：设 \(H\) 为 \(G\) 的子群，若对于任意 \(g\in G,h\in H\) 都存在 \(h'\in H\) 使得 \(gh=h'g\)，则称 \(H\) 为 \(G\) 的正规子群，记为 \(H\trianglelefteq G\)。

  等价定义 \(1\)：若 \(H\) 所有左陪集与右陪集相等，即 \(\forall a,aH=Ha\)，则 \(H\) 是正规子群。

  等价定义 \(2\)：若 \(\forall g\in G,h\in H,ghg^{-1}\in H\)，则 \(H\) 是正规子群。

证明：显然。

• 商群：给定群 \(G\)，设 \(H\) 是 \(G\) 的正规子群，则 \(H\) 的所有左陪集在群定义二元运算下满足群的性质，这个群称为 \(G\) 关于 \(H\) 的商群。记作 \(L=G/H\)，定义 \(L\) 上的乘法为 \(a_1H\times a_2H=(a_1\times a_2)H\)

• 对于商群的定义来说，其良定义当且仅当 \(H\) 是正规子群。

证明：充分性：若 \(H\) 是正规子群，则 \(\forall h_1,h_2\in H\) 都有 \(a_1h_1H\times a_2h_2H=(a_1h_1a_2h_2)H=(a_1a_2h_1'h_2)H=(a_1a_2)H\)。显然良定义。
必要性：\(\forall g\in G,h_1,h_2\in H\)，我们需要让 \((gh_1g^{-1}h_2)H=gh_1H\times g^{-1}h_2H=gH\times g^{-1}H=H\)，因此必然要有 \(gh_1h^{-1}\)，这正是正规子群的定义。

• 推论：\(|H||G/H|=|G|\)

• 推论：对于一个 Abel 群，其任意子群都是正规子群。

• 同态：对于群 \(G,H\)，存在映射 \(f:G\to H\)，使得 \(\forall a,b\in G,f(ab)=f(a)f(b)\)，则 \(G,H\) 同态。
  同时定义 \(\ker f=\{ g|f(g)=1_H,g\in G \}\)，即所有能被映射到 \(H\) 单位元的 \(G\) 中的值，这显然是一个群。同时，\(\mathrm{im}\ f\) 定义为 \(f(G)\)，为 \(f\) 的像。\(\ker f\) 称为 \(f\) 的核。

  若 \(f\) 是双射，则称 \(G,H\) 同构，成 \(f\) 为 \(G\) 和 \(H\) 同构映射，并且记为 \(G\cong H\)。

• 群的直积：两个群的直积定义为 \(H=G_1\times G_2=\{ (g_1,g_2)|g_1\in G_1,g_2\in G_2 \}\)，乘法定义为 \((g_1,g_2)\times (g_1',g_2')=(g_1\times_{G_1}g_1',g_2\times_{G_2}g_2')\)。

  显然的 \(|H|=|G_1||G_2|\)，并且 \(G_1'=\{ (g_1,1_{G_2})|g_1\in G_1 \}\) 和 \(G_2'=\{ (1_{G_1},g_2)|g_2\in G_2 \}\) 都是 \(H\) 的 \(H\) 正规子群。

同构基本定理与同构第二定理

• 同构基本定理：
  设 \(f:G\to H\) 为一个同态，则 \(\ker f\) 是正规子群且 \(G/\ker f\cong \mathrm{im}\ f\)。

证明：首先证明 \(\ker f\) 是一个正规子群，考虑 \(f(gkg^{-1})\) 的值，其中 \(k\in \ker f,g\in G\)，根据定义，有：

\[f(gkg^{-1}) =f(g)f(k)f(g^{-1})=f(g)f(g^{-1})=f(1_G)=1_H \]

所以 \(\ker f\) 是一个正规子群。

接下来证明 \(\mathrm{im}\ f\) 是一个子群，对于 \(a_1,b_1\in \mathrm{im}\ f,∃ a,b,s.t.f(a)=a_1,f(b)=b_1\)，于是 \(a_1b_1^{-1}=f(a)f(b)^{-1}=f(ab^{-1})\in \mathrm{im}\ f\)，故 \(\mathrm{im}\ f\le H\)。

以上证明了关于 \(f\) 的像与核的一些简单性质。以下记 \(H=\mathrm{im}\ f\)

令 \(\varphi : G/\ker f\to H\) 定义为 \(\varphi(g\ker f)=f(g)\)。要证明 \(\varphi\) 良定义需要证明对于 \(a,b\) 满足 \(aH=bH\Rightarrow b\in aH\) 来说，\(\varphi(aH)=\varphi(bH)\)。实际上这确实是成立的：\(\varphi(bH)=f(b)=f(ah)=f(a)f(h)=f(a)=\varphi(aH)\)。

同时 \(\varphi(g_1\ker f\times g_2\ker f)=\varphi(g_1g_2\ker f)=f(g_1g_2)=f(g_1)f(g_2)=\varphi(g_1\ker f)\varphi(g_2\ker f)\)，所以 \(\varphi\) 是同态映射。实际上，只需要说明 \(\ker \varphi =\{H\}\) 即可，因为 \(H\) 是 \(G/H\) 的幺元，这个定理我们会在后面证明，这里先假设其成立。于是有 \(\varphi(aH)=e_1\Rightarrow f(a)=e_1\Rightarrow a\in H\Rightarrow aH=H\Rightarrow\ker \varphi=H\Rightarrow\) \(\varphi\) 是单射，而对于 \(f(g)\) 来说，有 \(\varphi(g\ker f)=f(g)\)，所以又是满射。所以 \(\varphi\) 是同构映射。

• 设 \(\varphi:G\to H\) 是群同态，则 \(\varphi\) 单 \(\Leftrightarrow \ker \varphi =\{ e_G \}\)

证明：\(\varphi\) 不是单射 \(\Leftrightarrow ∃ a,b\in G,s.t.a\not=b,\varphi(a)=\varphi(b)\Leftrightarrow \varphi(ab^{-1})=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}=e_H\Leftrightarrow \ker \varphi \supseteq \{ ab^{-1},e \}\Leftrightarrow \ker \varphi \not= \{ e \}\)。

• 推论：令 \(H=G_1\times G_2\)，则 \(H/G'_1\cong G _2,H/G'_2\cong G_1\)。

证明：这里只证明前者，后者类似。

构造 \(f((g_1,g_2))=g_2\)，这样的话 \(\ker f=\{ (g_1,e) \}\)。由同构基本定理就可以得到推论。

• 推论：设 \(\varphi:G\to H\) 为群的满同射，则 \(G/\ker \varphi \cong G_1\)。
• 同构第二定理：设 \(H,K\trianglelefteq G,H\le K\) 则 \(\frac{G/H}{K/H}=\frac{G}{K}\)。即“除数”可约。

证明：首先有 \(H\trianglelefteq K\)，这是显然的，因为 \(K\le G\)，且对于 \(g\in G\) 有 \(gH=Hg\)。

构造映射 \(f:G/H\to G/K:f(gH)=gK\)。

首先证明 \(f\) 是良定义的，对于 \(aH=bH\)，有 \(f(aH)=aK=aHK=bHK=bK=f(bH)\)。

而 \(f\) 是同态映射：\(f(g_1H\times g_2H)=f(g_1g_2H)=g_1g_2K=g_1K\times g_2K=f(g_1H)f(g_2H)\)。

显然，对于 \(gK\)，一定有 \(gH\) 能映射到它，因此 \(f\) 是满同态。由同态基本定理得：\(\frac{G/H}{\ker f}=\frac{G}{K}\)。现在只需要证明：\(\ker f=K/H\)。

有 \(f(gH)=gK=K\Leftrightarrow g\in K\Leftrightarrow gH\in K/H\)。于是 \(K/H=\ker f\)。

轨道稳定集定理

• 给定非空集合 \(S\) 和置换群 \(G\)，这里 \(G\) 中元素为置换，二元运算定义为 \(f_1\times f_2=f_1\circ f_2\)，即先做置换 \(f_2\) 再做置换 \(f_1\) 得到的置换。

• 设 \(F_u=\{ f(u)|f\in G \}\) 为 \(u\) 的轨道，\(P_u=\{ f|f(u)=u \}\) 为 \(u\) 的稳定集，则有 \(|F_u||P_u|=G\)

证明：值得一提的是 \(F_u\subseteq S,P_u\le G\)。

考虑 \(G\) 的陪集分解：\(f_1P_u\cup f_2P_u\cup\cdots f_kP_u\)，显然 \(f_iP_u\) 中所有的置换作用在 \(u\) 上得到的结果相同。而实际上，不同陪集的置换作用在 \(u\) 上得到的结果不同，这是因为如果作用的结果相同，不妨设两个置换为 \(f_1,f_2\)，那么 \(f_2\) 肯定可以与若干个 \(P_u\) 中的置换复合得到 \(f_1\)，这与 \(f_1,f_2\) 属于不同陪集的前提不相符。

所以，陪集分解的数量应该就是 \(|F_u|\)，而每个陪集的大小都是 \(P_u\)，所以可知定理成立。

Bunside 引理

现在给定集合 \(S\) 和置换群 \(G\)，现在定义如果两个 \(S\) 中的元素可以通过置换得到，那么就认为它们相等。求本质不同的元素个数。

我们让每个轨道中的元素的贡献是轨道大小分之一即可。即：

\[\sum\limits_{u\in S}\frac{1}{|F_u|}=\sum\limits_{u\in S}\frac{|P_u|}{|G|}=\frac{1}{|G|}\sum\limits_{p\in G}\sum\limits_{s\in S}[p(s)=s] \]

后者就是 Burnside 引理的形式。

无标号无向图计数

阿贝尔群基本定理

• 阿贝尔群的任意子群都是正规子群。

• 阿贝尔群的商群也是阿贝尔群。

• 阿贝尔群基本定理内容：对于任意阿贝尔群 \(A\)，它一定可以唯一的写成：

\[A\cong \mathbb{Z}_{a_1}\times \mathbb{Z}_{a_2}\times \cdots \times \mathbb{Z}_{a_k}\times \mathbb{Z}^r \]

其中 \(a_1|a_2|\cdots |a_k\)。\(\mathbb{Z}_i\) 为 \(\bmod i\) 意义下的加法群。若 \(A\) 是有限群，则 \(r=0\)。

证明过于复杂，略过。

• 给定 \(n\) 求 \(n\) 阶阿贝尔群的个数，由于 \(n\) 很大，以质因数分解的形式给出 \(n=\sum\limits_{i=1}^mp_i^{a_i}\)。\(1\le m\le 10^6\)。

根据上面的定理内容，我们考虑 \(a_1,a_2,\cdots,a_k\) 的值，实际上我们是需要对于每个质数 \(p_i\)，把它的指数 \(a_i\) 拆成若干个数字的，也就是一个划分数，而答案就是若干划分数的乘积。

• 推论：若 \((p,q)=1\)，则 \(\mathbb{Z}_{pq}=\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_q\)

证明：只需要证明等号右边是循环群即可，实际上等号右边确实是循环群，生成元是 \((1,1)\)。

• 推论：有限的阿贝尔群一定可以写成如下形式：

\[\prod\mathbb{Z}_{p_1}^{\alpha_{1,i}}\prod\mathbb{Z}_{p_2}^{\alpha_{2,i}}\cdots\prod\mathbb{Z}_{p_k}^{\alpha_{k,i}} \]

其中 \(p_1,p_2,\cdots,p_k\) 是质数。

Lagrange 定理

• 域 \(F\) 上的任意 \(n\) 次多项式在 \(F\) 内至多有 \(n\) 个根。

证明：可以简单归纳证明。

• 推论：域 \(F\) 上的阿贝尔乘法群 \(F^\times\) 的任意有限子群都是循环群。

证明：\(f^\times\) 即为 \(F\) 域定义中的 \((S/0,\times)\)。设子群 \(G\)，分解可得：

\[G=\mathbb{Z}_{a_1}\mathbb{Z}_{a_2}\cdots\mathbb{Z}_{a_k} \]

因为 \(a_1|a_2|\cdots|a_k\)，所以 \(G\) 是循环群当且仅当 \(k=1\)。若 \(k>1\)，显然 \(G\) 中 \(1^{F}\) 对应的元素应该是 \((0,0,\cdots,0)\)，而对于 \(G\) 中的一个元素对应的元素 \((b_1,b_2,\cdots,b_k)\) 来说，其 \(a_k\) 次方一定是 \(1^F\)，所以对于 \(F\) 域下的一个方程 \(x^{a_k}-1^F=0^F\) 来说，按照 lagrange 定理，其应该只多有 \(a_k\) 个根，但是 \(G\) 中的每个元素都是这个方程的根，且一共有 \(a_1a_2\cdots,a_k\) 个元素。矛盾。

Z 上的乘法群

令 \(\mathbb{Z}_n^\times\) 为 \(\bmod n\) 意义下的乘法群，显然 \(|\mathbb{Z}_n^\times|=\varphi(n)\)。因为群要求有逆元，而只有与 \(n\) 互质的数有逆元。

• 欧拉定理：若 \((n,m)=1\) 则 \(m^{\varphi(n)}=1\bmod n\)。

证明：\(m\in Z_n^\times\)，设 \(m\) 的阶是 \(p\)，则有 \(m^p=1\)，而根据 lagrange 定理，有 \(p|\varphi(n)\)，故成立。

• 定理：若 \((p,q)=1\)，则 \(\mathbb{Z}_{pq}^\times\cong \mathbb{Z}_{p}^\times\times \mathbb{Z}_{q}^\times\)。

证明：构造映射 \(f:\mathbb{Z}_{pq}^\times\to \mathbb{Z}_{p}^\times\times \mathbb{Z}_q^\times:f(n)=(n\bmod p,b\mod q)\)。

证明是同态：\(f(nm)=(nm\bmod p,nm\bmod q)=f(n)f(m)\)。

证明是双射：根据中国剩余定理，对于右边任意一个 \((a,b)\)，可以找出在 \(\bmod\ pq\) 下的唯一解 \(n\)。而 \(f(n)=(a,b)\)。

所以定理成立。

威尔逊定理

• 设 \(p\) 为质数，则 \((p-1)!\equiv -1\bmod p\)
• 若 \(p\) 为质数，则 \((p^q)!_p\equiv -1\bmod p\)，其中 \((n!)_m\) 表示所有小于等于 \(n\) 且与 \(m\) 互质的正整数的乘积。

证明：若 \(n\) 的原根存在，设为 \(g\)，则 \((n!)_n\equiv g^{\frac{\varphi(n)(\varphi(n)-1)}{2}}\bmod m\)。

而 \(g^{\varphi(n)(\varphi(n)-1)}\equiv 1\)，所以 \((n!)_n\) 要么是 \(-1\) 要么是 \(1\)，取决于 \(\varphi(n)|\frac{\varphi(n)(\varphi(n)-1)}{2}\) 是否成立。

因此若 \(\varphi(n)\) 是偶数，则乘积为 \(-1\)，否则乘积为 \(1\)。

于是两个定理都是显然的。