ACwing 902 - 最短编辑距离（最长上升子序列模型）

给定两个字符串A和B，现在要将A经过若干操作变为B，可进行的操作有：

• 删除–将字符串A中的某个字符删除。
• 插入–在字符串A的某个位置插入某个字符。
• 替换–将字符串A中的某个字符替换为另一个字符。

现在请你求出，将A变为B至少需要进行多少次操作。

输入格式

第一行包含整数n，表示字符串A的长度。

第二行包含一个长度为n的字符串A。

第三行包含整数m，表示字符串B的长度。

第四行包含一个长度为m的字符串B。

字符串中均只包含大写字母。

输出格式

输出一个整数，表示最少操作次数。

数据范围

1 ≤ n,m ≤ 1000

输入样例：

10
AGTCTGACGC
11
AGTAAGTAGGC

输出样例：

4

题目大意：

给出两个字符串的长度和两个字符串AB，可以对串A进行三种操作：增、删、改，输出串A到串B至少需要几次操作。

解题思路：

线性dp问题，dp问题从两方面考虑

• 状态表示： 用两维去表示状态，f(i, j) 表示字符串 A 的前 i 个字符变化到字符串 B 的前 j 个字符所需的操作数, 本题要求的是最小值，所以f[i][j] 表示为A串的前 i 个字符变化到 B串的前 j 个字符所需的最小操作数。
• 状态计算： 考虑怎么转移到f[i][j]，有增，删，改三种操作，考虑增加，即考虑f[i][j - 1] 串A的前 i 个字符变化到 B 的j - 1 个字符的最小操作数，A前 i 个字符已经和Bj - 1匹配，那么增加一个字符bj后才能做到ai bj 匹配。再考虑删除，先上状态：f[i - 1][j] + 1 删除之前，必须考虑a[i - 1] 已经和 b[j] 匹配上，才能实现删除一个字符匹配成功。而修改操作：考虑a[i - 1] 和 b[j - 1] 已经匹配，然后判断a[i] == b[j] 考虑是否 + 1。

Code：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;

int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%s%d%s", &n, a + 1, &m, b + 1);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) f[i][0] = i;//初始化很重要
    for (int i = 1; i <= m; i ++) f[0][i] = i;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + 1;
            f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + (a[i] != b[j]));
        }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}