ACwing 282 - 石子合并（区间DP）

设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有4堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2， 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；

如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数N表示石子的堆数N。

第二行N个数，表示每堆石子的质量(均不超过1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围
1≤ N ≤300
输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

22

题目大意：

输入一个n，接下来输入 n 个数，ai 表示合并第 i 个石子的质量，你需要将这些石子合并成一堆，每次只能选择相邻的两堆进行合并，合并的代价是两堆石子质量之和，你需要找出一种方式使得合并完的代价最小，并输出这个代价。

解题思路：

经典区间dp问题，从两方面分析这个问题：

• 状态表示： 用两维去表示状态，区间问题一般都可以这样表示，f(i, j) 表示从第 i 堆石子合并到第 j 堆石子所需代价，而这道题的属性是最小值，所以用f(i, j) 表示从第 i 堆合并到第 j 堆的最小代价。
• 状态计算： 看看如何划分这个集合，f[i][j] 可以从什么状态转移过来呢，第一重循环可以枚举长度len，从1 -> n 第二重枚举一个起点，i到i + len - 1 ，考虑最后一次合并，他一定是将两堆石子合并成一堆，所以第三重循环可以枚举分割点k ，所以每次合并的代价一定是max(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + (sum[r] - sum[l - 1])) sum为前缀和数组，因为这次合并的代价要加上l - r 的总和，维护一个前缀和可以O1 时间去得到sum[l, r], k 的范围是i -> j - 1 ，因为至少要有一堆，以k为分界点，最后输出f(1, n) 即可。

Code：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 310;

int n;
int s[N]; 
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        s[i] = s[i - 1] + x;//维护一个前缀和
    }
    
    for (int len = 2; len <= n; len ++)//长度是1的代价一定是0，所以不必从1开始枚举
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++)
        {
            int l = i, r = i + len - 1;
            
            f[l][r] = 0x3f3f3f3f;//起初这堆的代价是不知道的，初始化成一个非常大的值即可
            for (int k = l; k < r; k ++)
            f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
        }
        
    cout << f[1][n] << endl;
    
    return 0;
}