矩阵递推斐波那契数列

矩阵递推斐波那契数列

  斐波那契数列都很熟悉，它满足, $F_{n} = \begin{cases}1&n\leqslant2\\F_{n - 1} + F_{n - 2}&n > 2\end{cases}$ 。
因为$F_n$从第三项开始是不断的递推下去的，所以我们可以考虑用矩阵加速递推。
  设$Fib\left( n\right)$表示一个$1×2$的矩阵$\begin{bmatrix}F_n& F_{n - 1}\end{bmatrix}$.我们希望根据$Fib\left( n - 1\right) = \begin{bmatrix}F_{n - 1}&F_{n - 2}\end{bmatrix}$推出$Fib\left( n\right)$。
  因为$Fib_n = Fib_{n - 1} + Fib_{n - 2}$，所以我们引入一个辅助矩阵$base$,第一列应该为$\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$,这样在进行矩阵乘法运算的时候才能令$F_{n - 1}$和$F_{n - 2}$相加，从而得出$F_{n}$,同理为了得出$F_{n - 1}$，矩阵$base$的第二列应该为$\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$.
  综上所述: $base = \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$原式化为 $$\begin{bmatrix}F_{n - 1}&F_{n - 2}\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1&1 \\ 1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}F_{n - 1} × 1 + F_{n - 2}×1&F_{n - 1}×0 + F_{n - 2}×1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_{n}&F_{n - 1} \end{bmatrix}$$
  这样我们就可以根据$\begin{bmatrix}F_{2}&F_{1}\end{bmatrix}$一直与$\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$进行矩阵乘法运算从而递推出$\begin{bmatrix}F_{n}&F_{n - 1}\end{bmatrix}$。
  那么定义$ans = \begin{bmatrix}F_{2}&F_{1}\end{bmatrix},base = \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}$,通过观察发现从$\begin{bmatrix}F_{2}&F_{1}\end{bmatrix}$递推出$\begin{bmatrix}F_{n}&F_{n - 1}\end{bmatrix}$只需要做$n - 2$次矩阵乘法。所以可以得出 $$Fib\left( n\right) = ans×base^{n - 2}$$

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本文作者：HoneyGrey
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