Codeforces Round #663 C. Cyclic Permutations(组合计数)

C. Cyclic Permutations

题意：
给定一个 $n$ 个数的排列，在 $1\sim n$ 之间的选定一个位置，从这个位置向左向右分别找到第一个满足 $p_k \> p_i$ 和 $p_j \> p_i$ 且 $k \< i \< j$ ，将 $i$ 位置分别和 $j, k$ 位置的点连一个无向边，使它们构成一个环。最后让我们求出 $n$ 个数的全排列中一共能构成多少个环。
思路：
这个题目的能构成环的情况有很多，比较难以计算，所以我们在这种情况下会选择正难则反的解决思路。先去考虑有哪些情况无法构成环，用总共的数量减去就可以很轻松的求解出来了。
因为我们要找到中间连边的点是要比左右的点高度低的，所以我们可以把这个排列抽象到二维平面中。例如样例中的 $[4, 2, 1, 3]$ 可以在二维平面中表示成

那么可以发现只要出现了 $\searrow \nearrow$ 这样的话就可以满足题意连成一个环，所以我们只要保证排列中只会出现这样的就可以了。那么我们将从最左边移动到最右边，在它的两侧所有元素单增单减即可，那么我们就得到了不能构成环的排列数是 $(\frac{n}{0}) + (\frac{n}{1}) + \dots + (\frac{n}{n- 1}) = 2^{n- 1}$
总共的排列数就是，所以最终答案就是 $ans = n! - 2^{n- 1}$

int n; std::cin >> n;
i64 ans = 1, res = 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) ans = 1ll * ans * i % P;
for (int i = 1; i <= n - 1; i ++ ) res = 2ll * res % P;
std::cout << (ans - res + P) % P << "\n";

__EOF__

本文作者：HoneyGrey
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