洛谷P1364医院设置(树形DP)

医院设置

  本题给我们一棵树还有所有点之间的关系，要我们找到医院设在什么位置的时候，在所有节点上的人到医院所有走的距离和最小。要求的是所有点到某一个节点的距离和最小，我们可以想到树的重心。
  树的重心的定义是树若以某点为根，使得该树最大子树的结点数最小，那么这个点则为该树的重心，一棵树可能有多个重心。它的性质就是：书上所有的点到树的重心的距离是最小的。
  根据这一条性质，我们就不难想到可以先求出现在这一棵树的重心在哪里，从而就得到了以每一个节点为根的子树的大小，这样我们只要把每一个节点作为医院所在位置时候的距离和都表示出来，从而在这些距离和中求出最小值就是我们想要的答案。
  在求重心的过程中，我们要把所有的点遍历一遍，由于这是一棵无根树，所以我们可以指定任意一个节点作为这一棵树的根，这里我们指定$1$作为这一棵树的根。在遍历的同时，我们还要维护以当前点$u$为根的子树的大小，我们用$sz[u]$来表示。距离和用$dp$数组来存储。

void dfs1(int u, int fa, int dep) { // u 表示的是根节点，fa 表示的是父节点，dep表示的是u节点到树根的距离
    sz[u] = w[u];
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int ver = e[i];
        if (ver == fa) continue;
        dfs1(ver, u, dep + 1);
        sz[u] += sz[ver];
    }
    dp[1] += w[u] * dep; 
}

  求出树的重心之后，我们要考虑状态转移的过程。因为这一棵树是带有自身权值的，所以不一定是将医院设在重心的位置对最后的答案最优，所以我们还是要再把所有的点遍历一遍，假设当前是在节点$u$，下一步是转移到$v$，那么转移方程就是$dp[v] = dp[u] - sz[v] + sz[1] - sz[v]$,$dp[u] - sz[v]$表示的是原本$v$子树所有的点要到$u$，但是现在只需要到$v$了，每一个节点就少走了一步，所以转移过程中距离和$dp[v]$先要在原本$dp[u]$的基础上减去$sz[v] * 1$,另外$sz[1]-sz[v]$表示的是除了$v$子树的节点以外的所有节点，它们在转移的过程中多走了$u->v$这一步，所有距离和要加上$sz[1]-sz[v]$这一部分

void dfs2(int u, int fa) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int ver = e[i];
        if (ver == fa) continue;
        dp[ver] = dp[u] + sz[1] - 2ll * sz[ver]; // sz[1]表示的整棵树的大小，在前一次遍历中将1设为了根节点
        dfs2(ver, u);
    }
    ans = std::min(ans, dp[u]);
}

那么最后就只需要求出最小值即可

void solve()
{
    ans *= ans;
    int n; scanf("%d", &n);
    mem(h,-1);
    rep(i,1,n + 1) {
        scanf("%d", w + i);
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        if (a) add(i, a), add(a, i);
        if (b) add(i, b), add(b, i);
    }

    dfs1(1, -1, 0);
    dfs2(1, -1);
    printf("%lld\n", ans);
}

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本文作者：HoneyGrey
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