sequence（dp+hash+二分搜索+前缀和优化）

题目描述：

给定一个长度为n的由['0'..'9']组成的字符串s，v[i,j]表示由字符串s第i到第j位组成的十进制数字。

将它的某一个上升序列定义为：将这个字符串切割成m段不含前导'0'的串，切点分别为k1,k2...km-1，使得v[1,k1]<v[k1+1,k2]<...<v[km-2,km-1]。

请你求出该字符串s的上升序列个数，答案对 10^9+7 取模。

题解：

方案数统计不带修改不难想到dp，

又有字符串的处理，加上信息不够，可以想到用区间 [l,r] 来存储信息的形式

所以，定义 f[i][j] 表示取 [i,j] 为最后一段的总方案数

容易想到，当 [k,i-1] 的长度小于 [i,j] 的长度时，必有 v[i,j] > v[k,i-1] (先比较位数)，f[i][j]+=f[k][i-1]

　　　　　当 [k,i-1] 的长度大于 [i,j] 的长度时，必有 v[i,j] < v[k,i-1] ，f[i][j] 不能由 f[k][i-1] 转移来

　　　　　当 [k,i-1] 的长度等于 [i,j] 的长度，即 k=i-1-(j-i+1)-1=2*i-j-1 时，通过比较 v[i,j]，v[k,i-1] 来判断能否由 f[k][i-1] 转移来

怎么比较呢？

字符串的比较方式 ，不难想到hash

但是hash只能处理字符串相同的情况，无法得出严格的大小关系

比较字符串大小是从靠前的位置开始的

所以可以用二分找出第一位不同的，比较字符即可

最后考虑到要处理 f[k][i-1] 的总和 (2*i-j<=k<=i-1)，将 f[][] 维护成前缀和

因此答案刚好是 f[n][n]

注意： ch[i]=='0' 时方案数为0

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
const int N=5005;
int n;
ll v[N][N],f[N][N];
char ch[N];
bool check(int a,int b,int c,int d){
    if(v[a][b]==v[c][d])return 0;
    int l=0,r=b-a,mid;
    while(l<r){
        mid=(l+r)>>1;
        if(v[a][a+mid]!=v[c][c+mid])r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    if(ch[a+l]<ch[c+l])return 1;
    return 0;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",ch+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=n;j++)
            v[i][j]=(v[i][j-1]*10+ch[j]-'0')%mod;
    for(int j=1;j<=n;j++) f[1][j]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        for(int j=i;j<=n;++j){
            if(ch[i]=='0') f[i][j]=0;
            else{
                int r=i-1,l=i+i-j-1;
                f[i][j]=((f[r][r]-f[max(0,l)][r])%mod+mod)%mod;
                if(l>0&&check(l,r,i,j)){
                    f[i][j]=(f[i][j]+((f[l][r]-f[l-1][r])%mod+mod)%mod)%mod;
                }
            }
            f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j])%mod;
        }
    }
    printf("%lld\n",f[n][n]);
    return 0;
}