欧几里得最大公约数算法

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最大公约数

想必大家小学就学过什么事最大公约数吧，现在给出一个数学上的定义：定义$g$是整数$a$和$b$的最大公约数，当且仅当$g$是同时整除$a$和$b$的数中最大的那个。

欧几里得算法

欧几里得算法可以写成如下简单的形式：

$$gcd(a,b) =\begin{cases} a, & \mbox{if }b=0 \\gcd(b,a\ mod\ b), & \mbox{if }b\ne0\end{cases}$$

算法的证明

算法的过程可以写成如下的形式：

$$a=q_0b+r_0$$

$$b=q_1r_0+r_1$$

$$r_0=q_2r_1+r_2$$

$$r_1=q_3r_2+r_3$$

$$\cdots$$

$$r_{k-1}=q_{k+1}r_k$$

显然，欧几里得算法的答案就是$r_k$。

先证明$r_k$能整除$a$和$b$：

$$\because r_{k-1}=q_{k+1}r_k$$

$$\therefore r_{k-2}=q_kr_{k-1}+r_k=(q_{k+1}q_k+1)r_k$$

$$\therefore r_k\mid r_{k-2}$$

$$\cdots$$

$$\therefore r_k\mid b$$

$$\therefore r_k\mid a$$

$$\therefore gcd(a,b)=g\ge r_k$$

接下来证明$gcd(a,b)=g$能整除$r_k$

$$\mbox{令} a=ng\ b=mg$$

$$\because a=q_0b+r_0$$

$$\therefore r_0=a-q_0b=ng-q_0mg=(n-q_0m)g$$

$$\mbox{同理}g\mid r_k$$

$$\therefore g\le r_k$$

$$\mbox{由前面的证明我们知道} g\ge r_k$$

$$\therefore g=r_k$$

代码

int gcd(int a, int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}