裴蜀定理
更新日志
2024/12/06：开工。
内容
对于不全为零的非负整数 \(a,b\)，对任意整数 \(x,y\)，\(\gcd(a,b)|ax+by\)。
同时，必然存在 \(x,y \in Z\) 满足 \(ax+by=\gcd(a,b)\)
证明
\(\gcd(a,b)|ax+by\)
\[\because \gcd(a,b)\mid a,\gcd(a,b)\mid b,x\in Z,y\in Z \\
\therefore \gcd(a,b)\mid ax,\gcd(a,b)\mid by \\
\therefore \gcd(a,b)\mid ax+by
\]
\(ax+by=\gcd(a,b)\)
我们将等式两边同时除以 \(\gcd(a,b)\)，令 \(a',b'\) 分别为 \(a,b\) 计算后得到的结果，则原式变为：
\[a'x+b'y=1
\]
同时，\(\gcd(a',b')=1\)。
于是转证\(a'x+b'y=1\)，我们考虑借助辗转相除法证明：
假设当前计算的是 \(\gcd(a,b)\)，那么其等价于 \(\gcd(b,a\bmod b)\)，设 \(r=a\bmod b\)，则其等价于 \(\gcd(b,r)\)。
我们以如下方式记录原过程：
\[\gcd(a',b')=\gcd(b',r_1)=\gcd(r_1,r_2)=\gcd(r_2,r_3)=\dots=\gcd(r_{n-1},r_n)=1
\]
当 \(a=0\) 时，\(\gcd(a,b)=b\)，那么令 \(r_{n-1}=0,r_n=1\)。
展开所有取模运算，令 \(x=\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\)，则：
\[\begin{align}
a'&=b'x_1+r_1\\
b'&=r_1x_2+r_2\\
r_1&=r_2x_3+r_3\\
&\cdots\\
r_{n-3}&=r_{n-2}x_{n-1}+r_{n-1}\\
r_{n-2}&=r_{n-1}x_n+r_n
\end{align}
\]
那么 \(r_{n-2}=r_{n-1}x_n+1\)，移项得：
\[r_{n-2}-r_{n-1}x_n=1
\]
然后我们可以把 \(r_{n-3}=r_{n-2}x_{n-1}+r_{n-1}\) 转化成 \(r_{n-1}=r_{n-3}-r_{n-2}x_{n-1}\)，然后把 \(r_{n-1}\) 代入得：
\[r_{n-2}-(r_{n-3}-r_{n-2}x_{n-1})x_n=1\\
(1+x_nx_{n-1})r_{n-2}-r_{n-3}x_n=1
\]
就这样逐个消去 \(r_{n-1},r_{n-2},r_{n-3},\dots,r_1\)，最后就会变成下面的形式：
\[xa'+yb'=1
\]
得证。
