威尔逊定理

更新日志

2024/12/05：开工。

2024/12/06：完工。

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公式

对于一个质数 \(p\)，其必然满足：

\[\LARGE (p-1)!\equiv-1\pmod p \]

那个\(!\)是阶乘不是\(\not\equiv\)

证明

首先同余式两边同时除以 \(-1\)（必与 \(p\) 互质），得到：

\[(p-2)!\equiv 1\pmod p \]

注：左侧去掉了 \(p-1\)

不难发现这是一个标准的同余式，形如 \(ax\equiv 1\)，将 \(x\) 记作 \(a\) 逆元。

那么观察上式，首先我们可以去掉左侧的 \(1\)，那么就剩下 \([2,p-2]\) 相乘。（若 \(p=2\)，额外考虑，必然满足 \(1!\equiv -1\pmod 2\)，成立）

考虑 \([1,p-1]\) 中两个数互为逆元的情况，发现除了 \(1,p-1\) 可以 \(x^2\equiv1\pmod p\) 以外，其他每一个数在区间内都有唯一的、非自身的一个数与其互为逆元。

也就是说，\([2,p-2]\) 这个区间内的数可以两两匹配，每一对的乘积都是 \(1\)。

故而 \((p-2)!\equiv1\pmod p\) 得证，故 \((p-1)!\equiv-1\pmod p\)

证毕。