费马小定理
更新日志
2024/12/05：开工。
公式
若 \(p\) 为质数，则：
\[\LARGE a^p\equiv a\pmod p
\]
若同时满足 \(\gcd(a,p)=1\)，则：
\[\LARGE a^{p-1}\equiv1\pmod p
\]
证明
欧拉定理快速证明
我们先证明第二个形式：
根据欧拉定理可得：
\[a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p \\
\because \varphi(p)=p-1 \\
\therefore a^{p-1}\equiv 1\pmod p
\]
然后考虑第一个形式，不难发现：
- 若 \(p\nmid a\)，则 \(a^{p-1}\cdot a\equiv 1\cdot a\pmod p\)，即 \(a^p\equiv a\pmod p\)。
- 若 \(p\mid a\)，则 \(a\equiv 0\pmod p\)，然后 \(a^p\equiv 0\pmod p\)，所以 \(a^p\equiv a\pmod p\)。
构造法证明
就是构造欧拉定理的思路，没什么好讲的。
这里放一个OI-wiki链接，就是构造法证明的。
数学归纳法证明
OI-wiki写的挺好的，很详细且简洁，我并不觉得能总结的更好些，而且我太懒了有其他的证明方法，所以必要性不大。
