整体二分
更新日志
2024/11/26：增加带修例题概念
将所有询问离线下来，对这个整体进行二分答案。
思路
通用的思路是，考虑对于单个问题，如何二分答案。
然后将所有二分答案压缩到一次二分答案之中。
更详细地，我们将所有询问储存在一起，每次二分答案时，将询问分成两类：当前 mid 已满足的和未满足的。
那么，下一次二分时，答案区间 [l,mid] 需要处理的询问就只有 mid 已满足的，反之同理。
同时，通常情况下，如果当前询问不满足，应当将其需求减去当前满足了的数量，让下一轮计算时只需要计算新增贡献即可。
当区间缩为一点时，答案固定。
细节
通常情况下，整体二分会涉及到前缀和、树状数组、线段树等，这时候每次递归下一轮前都要对其清空。考虑到直接清空复杂度太高，我们只需要把所有进行过操作的部分减回去即可。
另外，在分类询问时，可以开一个临时数组储存分类结果，最后用它覆盖原数组即可。
如果存在无解情况，记得把对应边界开大 \(1\)。
代码
void solve(int x,int y,int l,int r){//x,y询问区间 l,r答案区间
if(l==r){
rep(i,x,y)ans[arr[i]]=l;//记录答案
return;
}
int mid=l+r>>1;
rep(i,l,mid){
//统计答案贡献
}
int cnt=0;
rep(i,x,y){
ll num=0;
//计算当前答案
if(num>=ned[arr[i]]){//可行
can[i]=true;
cnt++;
}else{
can[i]=false;
ned[arr[i]]-=num;//减去当前贡献
}
}
int cnt1=0,cnt2=0;
//分类
rep(i,x,y){
if(can[i]){
tmp[x+cnt1]=arr[i];
cnt1++;
}else{
tmp[x+cnt+cnt2]=arr[i];
cnt2++;
}
}
rep(i,x,y)arr[i]=tmp[i];
rep(i,l,mid){
//退回贡献
}
solve(x,x+cnt-1,l,mid);solve(x+cnt,y,mid+1,r);//递归下一轮
}
修改操作
把修改和询问放到同一个序列中，统一记作操作序列，二分时分类这个序列即可。
视情况将修改操作也分类，看是否会对区间造成影响，这个主要还是要视具体情况而定。
例题
代码
前注：非题解，不做详细讲解
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef double db;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<int,ll> pil;
typedef pair<ll,int> pli;
template <typename Type>
using vec=vector<Type>;
template <typename Type>
using grheap=priority_queue<Type>;
template <typename Type>
using lrheap=priority_queue<Type,vector<Type>,greater<Type> >;
#define fir first
#define sec second
#define pub push_back
#define pob pop_back
#define puf push_front
#define pof pop_front
#define chmax(a,b) a=max(a,b)
#define chmin(a,b) a=min(a,b)
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define per(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7/*998244353*/;
const int N=3e5+5;
int n,m,k;
vec<int> plcs[N];
int ned[N];
struct rain{int l,r,a;}rs[N];
int arr[N],tmp[N];
int ans[N];
bool can[N];
struct fenwick{
ll dat[N*2];
int lowbit(int x){return x&-x;}
void add(int x,ll a){
while(x<=m*2){
dat[x]+=a;
x+=lowbit(x);
}
}
ll query(int x){
ll res=0;
while(x>0){
res+=dat[x];
x-=lowbit(x);
}
return res;
}
}fwt;
void solve(int x,int y,int l,int r){
if(l==r){
rep(i,x,y)ans[arr[i]]=l;
return;
}
int mid=l+r>>1;
rep(i,l,mid){
fwt.add(rs[i].l,rs[i].a);
fwt.add(rs[i].r+1,-rs[i].a);
}
int cnt=0;
rep(i,x,y){
ll num=0;
for(auto j:plcs[arr[i]]){
num+=fwt.query(j)+fwt.query(j+m);
if(num>=ned[arr[i]])break;
}
if(num>=ned[arr[i]]){
can[i]=true;
cnt++;
}else{
can[i]=false;
ned[arr[i]]-=num;
}
}
int cnt1=0,cnt2=0;
rep(i,x,y){
if(can[i]){
tmp[x+cnt1]=arr[i];
cnt1++;
}else{
tmp[x+cnt+cnt2]=arr[i];
cnt2++;
}
}
rep(i,x,y)arr[i]=tmp[i];
rep(i,l,mid){
fwt.add(rs[i].l,-rs[i].a);
fwt.add(rs[i].r+1,rs[i].a);
}
solve(x,x+cnt-1,l,mid);solve(x+cnt,y,mid+1,r);
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
int o;
rep(i,1,m){cin>>o;plcs[o].pub(i);}
rep(i,1,n)cin>>ned[i];
cin>>k;
rep(i,1,k){
cin>>rs[i].l>>rs[i].r>>rs[i].a;
if(rs[i].r<rs[i].l)rs[i].r+=m;
}
rep(i,1,n)arr[i]=i;
solve(1,n,1,k+1);
rep(i,1,n){
if(ans[i]==k+1)cout<<"NIE\n";
else cout<<ans[i]<<"\n";
}
return 0;
}
带修
代码
前注：非题解，不做详细讲解
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef double db;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<int,ll> pil;
typedef pair<ll,int> pli;
template <typename Type>
using vec=vector<Type>;
template <typename Type>
using grheap=priority_queue<Type>;
template <typename Type>
using lrheap=priority_queue<Type,vector<Type>,greater<Type> >;
#define fir first
#define sec second
#define pub push_back
#define pob pop_back
#define puf push_front
#define pof pop_front
#define chmax(a,b) a=max(a,b)
#define chmin(a,b) a=min(a,b)
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define per(i,x,y) for(int i=y;i>=x;i--)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7/*998244353*/;
const int N=5e4+5;
int n,m;
struct op{
int tp;
int l,r;ll c;
}os[N];
int xs;
ll x[N];
int arr[N],tmp[N];
int ans[N];
bool lft[N];
struct segment{
ll dat[N*4],laz[N*4];
void update(int x){
dat[x]=dat[x*2]+dat[x*2+1];
}
void pushdown(int x,int l,int r){
if(laz[x]==0)return;
int m=l+r>>1;
dat[x*2]+=laz[x]*(m-l+1);
dat[x*2+1]+=laz[x]*(r-m);
laz[x*2]+=laz[x];
laz[x*2+1]+=laz[x];
laz[x]=0;
}
void add(int lq,int rq,ll v,int x=1,int l=1,int r=n){
if(lq<=l&&r<=rq){
dat[x]+=v*(r-l+1);
laz[x]+=v;
return;
}
pushdown(x,l,r);
int m=l+r>>1;
if(lq<=m)add(lq,rq,v,x*2,l,m);
if(m<rq)add(lq,rq,v,x*2+1,m+1,r);
update(x);
}
ll query(int lq,int rq,int x=1,int l=1,int r=n){
if(lq<=l&&r<=rq){
return dat[x];
}
pushdown(x,l,r);
int m=l+r>>1;
ll res=0;
if(lq<=m)res+=query(lq,rq,x*2,l,m);
if(m<rq)res+=query(lq,rq,x*2+1,m+1,r);
return res;
}
}seg;
void solve(int x,int y,int l,int r){
if(l>r)return;
if(l==r){
rep(i,x,y)ans[arr[i]]=l;
return;
}
int mid=l+r+1>>1;
int cnt=0;
rep(i,x,y){
op &now=os[arr[i]];
if(now.tp==1){
if(now.c>=mid){
seg.add(now.l,now.r,1);
lft[i]=false;
}else{
cnt++;
lft[i]=true;
}
}else{
ll num=seg.query(now.l,now.r);
if(num>=now.c){
lft[i]=false;
}else{
cnt++;
lft[i]=true;
now.c-=num;
}
}
}
int cnt1=0,cnt2=0;
rep(i,x,y){
op &now=os[arr[i]];
if(now.tp==1&&now.c>=mid)seg.add(now.l,now.r,-1);
if(lft[i]){
tmp[x+cnt1]=arr[i];
cnt1++;
}else{
tmp[x+cnt+cnt2]=arr[i];
cnt2++;
}
}
rep(i,x,y)arr[i]=tmp[i];
solve(x,x+cnt-1,l,mid-1);
solve(x+cnt,y,mid,r);
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m;
rep(i,1,m){
cin>>os[i].tp>>os[i].l>>os[i].r>>os[i].c;
if(os[i].tp==1)x[++xs]=os[i].c;
}
sort(x+1,x+1+xs);
xs=unique(x+1,x+1+xs)-x-1;
rep(i,1,m){
arr[i]=i;
if(os[i].tp==1)os[i].c=lower_bound(x+1,x+1+xs,os[i].c)-x;
}
solve(1,m,1,xs);
rep(i,1,m){
if(os[i].tp==2)cout<<x[ans[i]]<<"\n";
}
return 0;
}
