轮廓线DP

更新日志

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概念

类似于状态压缩DP，但我们储存的是轮廓线上的状态。

有些时候，也不需要进行状态压缩，而可以用某一点的状态代表一个区域的状态。

思路

轮廓线就是已经决策的与尚未决策的部分的分界线，我们储存分界线上已经决策过的所有节点的状态。

借图OI-wiki：

图中最粗的那一条就是轮廓线。储存的状态可以为第三行前两个与第二行后两个。

直接上例题。

例题

HDU1400

骨牌覆盖，经典问题。

我们考虑状态，\(0\) 表示尚未被覆盖，\(1\) 表示已经被覆盖。

我们是逐格推进的。每次更新时，都只需要枚举这一格的轮廓线状态。（当前格视作已决策的情况下）

• 当前格子状态为 \(0\)。
  那么只能不放。因此，由于要填满整个棋盘，它上面的格子必须已经被覆盖，也就是必须为 \(1\)，可以用异或表示（因为二者在同一位上，且当前位为 \(0\)）
  在下方代码中，\(t\) 表示当前所在格子编号，\(s\) 表示状态，\(j\) 表示横坐标。
  \[f[t][s]=f[t-1][s\oplus 1<<j] \]

• 当前格子状态为 \(1\)。
  那么可以横着放，也可以竖着放。
  • 横着放，要求前一位必须为空（至少得有前一位，不能放出界）。同时，当前状态的前一位状态也应该是 \(1\)，因为横着放必然也会盖上其左侧的格子。所以也可以使用异或表示。
    同时，这个格子的上面一个格子必须已经被覆盖了，由于这一位状态本来就是 \(1\)，所以可以直接使用，无需改变状态。
    \[f[t][s]=f[t][s]+f[t-1][s\oplus 1<<j-1] \]

  • 竖着放，对于前一位就没有什么要求了，但是这一位的上一个格子必须为 \(0\)，同理可得异或即可。
    \[f[t][s]=f[t][s]+f[t-1][s\oplus 1<<j] \]

初始化：第一行的前一行视作全部填满，其他状况均无可能。

答案：最后一行不能留空，答案就是 \(f[t][(1<<m)-1]\)。\(m\) 表示总列数。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef double db;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<int,ll> pil;
typedef pair<ll,int> pli;
template <typename Type>
using vec=vector<Type>;
template <typename Type>
using grheap=priority_queue<Type>;
template <typename Type>
using lrheap=priority_queue<Type,vector<Type>,greater<Type> >;
#define fir first
#define sec second
#define pub push_back
#define pob pop_back
#define puf push_front
#define pof pop_front
#define chmax(a,b) a=max(a,b)
#define chmin(a,b) a=min(a,b)
#define dprint(x) cout<<#x<<"="<<x<<"\n"

const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7/*998244353*/;

const int N=11;

int n,m;
ll f[2][2<<N];
ll ans;

void solve(){
    if(n<m)swap(n,m);
    int i,wc;
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[0][(1<<m)-1]=1;
    ans=0;
    for(i=0,wc=1;i<n;i++){
        for(int j=0;j<m;j++,wc^=1){
            for(int s=0;s<(1<<m);s++){
                if(s>>j&1){
                    f[wc][s]=f[wc^1][s^(1<<j)];
                    if(j>0&&(s>>j-1&1))f[wc][s]+=f[wc^1][s^(1<<j-1)];
                }else f[wc][s]=f[wc^1][s^(1<<j)];
            }
        }
    }
    cout<<f[wc^1][(1<<m)-1]<<"\n";
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    while(cin>>n>>m)solve();
    return 0;
}

LG1437

可以用最下侧的点状态表示其一整个倒三角的状态。

分别储存删除这个点的价值和使这个三角形为空的最大价值即可。

考虑从其右上角转移得到当前点，然后加上与它同列且在其上方的所有价值，代表删除这个点。

是这个三角形为空，可以先使它下面一个三角形为空，也可以删除当前节点，更新即可。

实时统计答案。

友链另一份TJ

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 i128;
typedef double db;
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<int,ll> pil;
typedef pair<ll,int> pli;
template <typename Type>
using vec=vector<Type>;
template <typename Type>
using grheap=priority_queue<Type>;
template <typename Type>
using lrheap=priority_queue<Type,vector<Type>,greater<Type> >;
#define fir first
#define sec second
#define pub push_back
#define pob pop_back
#define puf push_front
#define pof pop_front
#define chmax(a,b) a=max(a,b)
#define chmin(a,b) a=min(a,b)
#define dprint(x) cout<<#x<<"="<<x<<"\n"

const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7/*998244353*/;

const int N=55;

int n,m;
int a[N][N];
ll s[N][N];
ll res[N][N][N*N];//使三角空
ll dlt[N][N][N*N];//删除这个三角
ll ans;

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++){
            cin>>a[i][j];
            s[i][j]=s[i-1][j]+a[i][j];
        }
    }
    //right->left down->up
    for(int j=n;j>=1;j--){
        for(int i=n-j+1;i>=0;i--){
            for(int k=i*(i+1)/2;k<=m;k++){
                dlt[i][j][k]=res[max(0,i-1)][j+1][k-i]+s[i][j];
                res[i][j][k]=max(res[i+1][j][k],dlt[i][j][k]);
                ans=max(ans,res[i][j][k]);
            }
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}