Tarjan求割边（桥）

更新日志

---

思路

割边定义与割点相似，不过是把点换成了边，所以思想和割点差不多。

Tarjan割点

我们只需要在Tarjan过程中判断某一颗子树的low是否严格大于当前节点的dfn。值得注意，这里子树的low不应该由到它的原边回溯到它的父节点得到！

究其原因，其实就是如果子树是一个强连通分量，那么这条连接这个子结点的边就连接了两个强连通分量。

另一个解释，子结点无法通过别的边回到父节点或其上，那么这条边就是唯一一条连接子结点与父节点的边，也就是割边。（因此不能走原边更新low）。

这样就可以得到割边了。

细节

如何判断一条边是不是原边呢？如果使用链式前向星存图，就很好解决。

众所周知，无向边存下来就是两个有向边，而我们都是连着储存的，所以只需要把编号除以 \(2\) 即可得到其无向边编号。

（如果和我一样习惯从 \(1\) 开始编号，可以：(e-1)/2+1）

模板

int dcnt;
int dfn[N],low[N];
bool bri[M];//判断是否是桥
void tarjan(int now,int fed){//记录父边编号
    dfn[now]=low[now]=++cnt;
    for(int e=hd[now];e;e=ne[e]){
        int nxt=to[e],eid=(e-1)/2+1;
        if(!dfn[nxt]){
            tarjan(nxt,eid);
            low[now]=min(low[now],low[nxt]);
            if(low[nxt]>dfn[now]){
                bri[eid]=true;
            }
        }else if(eid!=fed)low[now]=min(low[now],dfn[nxt]);
    }
}

例题

注：割边通常与求边双联合使用，所以就直接放边双的例题了。
LG8436

代码

前注：非题解，不做详细讲解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef vector<int> veci;

const int N=5e5+5,M=2e6+5;

int n,m;

int cnt;
int hd[N],to[M*2],ne[M*2];
void adde(int u,int v){
    to[++cnt]=v;
    ne[cnt]=hd[u];
    hd[u]=cnt;
}

int dcnt;
int dfn[N],low[N];
bool bri[M];
void tarjan(int now,int fed){
    dfn[now]=low[now]=++cnt;
    for(int e=hd[now];e;e=ne[e]){
        int nxt=to[e],eid=(e-1)/2+1;
        if(!dfn[nxt]){
            tarjan(nxt,eid);
            low[now]=min(low[now],low[nxt]);
            if(low[nxt]>dfn[now]){
                bri[eid]=true;
            }
        }else if(eid!=fed)low[now]=min(low[now],dfn[nxt]);
    }
}
int bcnt;
int bcc[N];
veci nods[N];
void dfs(int now){
    bcc[now]=bcnt;
    nods[bcnt].push_back(now);
    for(int e=hd[now];e;e=ne[e]){
        int nxt=to[e],eid=(e-1)/2+1;
        if(bcc[nxt]!=0||bri[eid])continue;
        dfs(nxt);
    }
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    int a,b;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>a>>b;
        adde(a,b);
        adde(b,a);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!dfn[i])tarjan(i,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!bcc[i]){
            ++bcnt;
            dfs(i);
        }
    }
    cout<<bcnt<<"\n";
    for(int i=1;i<=bcnt;i++){
        cout<<nods[i].size()<<" ";
        for(auto j:nods[i])cout<<j<<" ";
        cout<<"\n";
    }
    return 0;
}