01 背包问题
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记得大二参加数学建模的时候，开始接触了动态规划，在听过张老师的课后，当时使用matlab写了背包问题的代码，记得使用递归实现的。总之，对这个问题认识得非常的不清楚。以前强制记了好几次代码，过一段时间又忘了。虽然每次看书的时候还是可以回想起解题思路，但是心里总有种不踏实的感觉，由于上次腾讯笔试的刺激，发现这么多年以来，自己做的事情都有点南辕北辙、舍本逐末。计算机核心的离散数学、编译原理、组合数学、自动机理论，被放在了一边，从不过问。而去追求一些花哨的东西。真的是勿以往之不谏啊~~所以，虽然自己天天都在努力的工作，但是心里始终有不踏实的感觉，总是又被谴责鼻子走的感觉，那是因为自己根本没有抓住本质的东西，所以才会如此被动~~~计算机虽然已经和数学分得很开了，但是计算机毕竟产生于数学，所以逃避数学的做法是万万不可的。如果背离了数学而去搞计算，那么高度肯定是上不去了，以前认为只要把算法学好了就够了，现在才发现，离散数学、组合数学、自动机理论是如此的重要，在以后的学习和工作中，一定要勤思考才行。。
背包问题有0-1背包问题和fraction背包问题，前者规定每个物品要么选，要么不选，而fraction knanpsack允许选取一个物品的一部分，0-1背包问题是NP难的，而fraction knapsacks的复杂度是O(n*logn), 只需要将单位物品的价值按降序排列，利用贪心策略选取即可得到最优解。
给定一个背包，容量为C，有n个物品，重量为n维行向量w，价值为n维行向量v. |v|=|w|=n, n维向量y=[0,1,0….yn]代表物品的选法，其中的没有元素yi，要么是0、要么是1，为零代表选取第i个物品，为0表示不选取第i个物品。 目标函数是:Max(Sum(vi*yi)), 约束条件是sum(wi*yi) <=C, 其中 1=< i <=n.
背包问题具有最优子结构，令f(n,C)代表，有n个待选物品，背包容量为C时的最优解，此时物品选择向量为y=[y1,y2,…yn], 那么当yn=1时，y’=[y1, y2, …yn-1],必然为f(n-1, C-wn)的物品选择向量，当yn=0时，必然为f(n-1,C)的最优物品选择向量。所以背包问题可以由动态规划来求解。
根据上面的分析，我们可以得到如下的递归式:
当wn>C时， f(n,C)=f(n-1,C);
当wn<=C时，f(n，C) = max(f(n-1,C), vn+f(n-1, C-wn) );
初始条件为：f(i, 0) = 0; f(0,i) = 0; f(0,0) = 0;
根据上面的分析用递归实现的0-1背包代码如下：
1: /*
2: *
3: *时间：22012年4月10日19:46:27
4: *作者：JustinZhang
5: *Email:uestczhangchao@gmail.com
6: */
7:
8: #include <iostream>
9: #include <iomanip>
10: using namespace std;
11:
12: int w[]={1,3,4,5};//物品重量数组
13: int v[]={2,30,44,20};//物品价值数组
14: int C=5;//背包容量
15: int y[4]={-1,-1,-1,-1};//解向量,y[i]=1表示选取物品，y[i]=0表示不选取物品
16:
17:
18: int f(int n, int C)
19: {
20: if (n==0 || C==0)//当物品数量为0，或者背包容量为0时，最优解为0
21: {
22: return 0;
23: }
24: else
25: {
26: //从当前所剩物品的最后一个物品开始向前，逐个判断是否要添加到背包中
27: for (int i=n-1; i>=0;i++)
28: {
29: //如果当前要判断的物品重量大于背包当前所剩的容量，那么就不选择这个物品
30: //在这种情况的最优解为f(n-1,C)
31:
32: if (w[i]>C)
33: {
34: y[i]=0;
35: return f(n-1,C);
36: }
37: else
38: {
39: //如果当前待判断的物品重量wi<C,那么就选取f(n-1,C)和vi+f(n-1,C-wi)中的最大值
40: int tmp1 = f(n-1,C);//不选择物品i的情况下的最优解
41: int tmp2 = v[i] + f(n-1,C-w[i]);//选择物品i的情况下的最优解
42:
43: //返回选择物品i和不选择物品i中最优解大的一个
44: if (tmp1 > tmp2)
45: {
46: y[i]=0;//这种情况下表示物品i未被选取
47: return tmp1;
48: }
49: else
50: {
51: y[i]=1;//物品i被选取
52: return tmp2;
53: }
54:
55: }
56: }
57:
58: }
59:
60: }
61:
62:
63: int main()
64: {
65:
66: int maxvalue = f(4,5);
67: for (int i=0; i<4; i++)
68: {
69: if (y[i]==1)//为1表示相应的物品被选取
70: {
71: cout << "Object "<< i+1 << " is selected. " << "It's Vaule is " << setw(2)<< v[i] \
72: << " It's Weight is"<< setw(2)<<w[i] << endl;
73: }
74: }
75:
76: cout << "Maximum Value is: "<< maxvalue << endl;
77: return 0;
78: }
79:
80:
运行结果如下：
在算法导论上，背包问题的伪代码如下：
我们可以看到复杂度为O(nW),初看之下还以为这个算法的复杂度是多项式时间，但是书中明明说0-1背包问题是NP难问题啊，难道书中说错了吗？其实这里忽略的问题是，在上面的程序中n才是输入规模，而W并不是输入规模，因为它是背包的容量，而背包的数量一直都是为1的，如果在物品数量为n的情况下，背包的容量为2^n，那么这个算法的复杂度就是O(n*2^n), 所以这个问题是NP难的~~
对该算法的实现如下所示：
1: /*
2: 时间：2012年4月10日21:08:25
3: 作者：JustinZhang
4: Email:uestczhangchao@gmail.com
5: Desc:算法导论中背包问题的实现，采用非递归的方式;更加深入的理解递归是如何工作的，因为此时没有用递归调用，
6: 是使用矩阵来记录每一步计算的结果，最后得到最优解；在最优解找到过后，还要给出那些物品被选中，此时是使用c[i][j]
7: 从c[n][W]往前查找，利用递归公式做出判断（如果当前物品被选中，那么没有该物品的最优解(c[i-1][j-w[i])就等于当前的最优解减去当前物品的价值（c[i][j]-v[i]））；
8: */
9:
10: #include <iostream>
11: #include <iomanip>
12: using namespace std;
13:
14:
15:
16: const int n = 4;
17: const int W = 5;
18:
19: int c[n+1][W+1];
20:
21: /*
22: input:
23: int v[]:物品的价值数组;
24: int w[]:物品重量数组;
25: int n:物品个数;
26: int W:背包容量;
27:
28: */
29: void knapsack_0_1_problem(int v[],int w[], int n, int W)
30: {
31: c[0][0] = 0;
32: //c[i][j]表示，将i个物品放入容量为j的背包中所具有的价值最大值；
33: for (int i=1; i<n; i++)
34: {
35: c[i][0] = 0;//如果背包容量为0，那么i个物品放入该背包的最优值都是0；
36: }
37: for (int j=1; j<W; j++)
38: {
39: c[0][j] = 0;//如果物品的数量为0，那么将0个物品放入大小为j的背包中的最优值就是0；
40: }
41:
42: //下面开始使用递归公式求解最优值
43: for(int i=1; i<=n;i++)
44: {
45: for (int ww=1; ww<=W; ww++)
46: {
47: //如果当前物品的重量大于背包的体积
48: if (w[i]>ww)
49: {
50: c[i][ww] = c[i-1][ww];
51: }
52: else
53: {
54: if (c[i-1][ww] > (v[i]+c[i-1][ww-w[i]]))
55: {
56: c[i][ww] = c[i-1][ww];
57: }
58: else
59: {
60: c[i][ww] = v[i]+c[i-1][ww-w[i]];
61: }
62: }
63: }
64:
65: }
66: }
67:
68:
69:
70: int main()
71: {
72:
73: //v[]和w[]分别为价值数组和重量数组，并且下标都是从1开始算的，第0个元素设为-999；
74: //这里要下标必须从1开始，因为在迭代的过程当中有c[i][j]=max{c[i-1][j], c[i-1][j-w[i]]},
75: //如果元素的下标从0开始取的话，我们在遍历物品价值和重量数组的时候，就会有c[0][j]=max{c[i-1][j], c[-1][j-w[0]]},这里就会出现数组下标为0的情况,
76: //所以下标选择从1开始。
77: int v[n+1] = {-999, 6, 7, 14, 8};
78: int w[n+1] = {-999, 1, 2, 4, 5};
79:
80: knapsack_0_1_problem(v,w,n,W);
81:
82: for (int i=0; i<=n; i++)
83: {
84: for (int j=0; j<=W; j++)
85: {
86: cout << setw(3) << c[i][j];
87: }
88: cout << endl;
89: }
90:
91: int remainspace = W;//该变量用来记录背包当前还剩余的容量
92:
93: //以下过程，从c[n][W]开始向前寻找，那些物品被选择装进背包中;
94: //判断条件为：如果第n个物品被选择装进背包中，那么c[n][W]=c[n-1][W-w[n]] + v[n];此时reminspace将变为remainspace-w[n]
95: //否则物品n没有被选择，此时背包剩余的容量remainspace不会发生改变；
96: //按照上述方法一直往前找，即可以将所有装入背包中物品找到。
97:
98: for(int i=n; i>=1; i--)
99: {
100:
101: if (remainspace >= w[i])
102: {
103:
104: if ((c[i][remainspace]-c[i-1][remainspace-w[i]]==v[i]))
105: {
106: cout << "item " << i << " is selected!" << endl;
107: remainspace = remainspace - w[i];//如果第i个物品被选择，那么背包剩余容量将减去第i个物品的重量 ;
//，2012年5月2日21:45:33 修改为remainspace - w[i];以前为 W-w[i];
108: }
109: }
110:
111: }
112:
113: cout << "Maximum values is " << c[n][W] << endl;
114:
115: return 0;
116: }
运行结果如下：
