动态规划习题

动态规划需要大量的练习，运用所学习的技巧与优化，本篇为练习。

$n$ 很小，考虑状压， $n o w$ 状态是一定要有的，每加一条边我们叶子节点会变化，这启示我们记录叶子结点的集合 $p$ ，设 $f_{n o w, p}$ 表示 $n o w$ 状态下，该树叶子结点状态为 $p$ 的方案数，则对于一条边 $(i, j), i \in n o w, j \notin n o w$ ，有

f_{n o w \cup {j}, p ∖ {i} \cup {j}} \leftarrow f_{n o w, p}

对于每个状态可能会有多算的，需要除上 $| p |$ ，初始化两个节点的情况，复杂度 $O (3^{n} n^{2})$ 。

代码

II P5369 [PKUSC2018] 最大前缀和

我们有数列 $a$ ，对于 $i$ 其是最大前缀和，则需要满足的条件：

对于 $j < i ， j \neq 1$ ，需满足 $\sum_{k = j}^{i} \geq 0$ ，即 $i$ 之前的数列的后缀和不小于 $0$ ，总和除外。
对于 $j > i$ ，需要满足 $\sum_{k = i}^{j} < 0$ ，即 $i$ 之后的数列的前缀和小于 $0$ 。

$n$ 较小，考虑状压，设 $f_{n o w}$ 表示所有前缀和 $< 0$ 的方案数， $g_{n o w}$ 表示所有后缀和 $\geq 0$ 的方案数，有：

$f_{n o w \cup {i}} \leftarrow f_{n o w}, i \notin n o w, s_{n o w \cup {i}} < 0$ 。
$g_{n o w \cup {i}} \leftarrow g_{n o w}, i \notin n o w, s_{n o w \cup {i}} \geq 0$ 。

其中 $s_{n o w}$ 表示 $n o w$ 状态中所有节点权值和。

由于前缀总和的和不需要 $< 0$ ，所以我们在 DP 中直接计算答案，有： $a n s \leftarrow f_{n o w} \times g_{a l l ∖ n o w ∖ {i}} \times s_{n o w \cup {i}}$ ， $a l l$ 表示全集，即 $(1 << n) - 1$ 。

复杂度 $O (2^{n} n)$ 。

代码

III AT_arc107_d Number of Multisets

设 $f_{i, j}$ 表示 $i$ 个元素，和为 $j$ 的方案数。

若为 $1$ ， $f_{i, j} \leftarrow f_{i - 1, j - 1}$ ，否则可能成为分数，考虑由其他状态转移。

若为 $\frac{1}{2}$ ，则可以由 $f_{i - 1, 2 j - 1}$ 转移，也就是将该状态的数都除 $2$ ，这样再加上 $\frac{1}{2}$ 即为 $j$ 。

其余同理，类似前缀和的我们可以倒序枚举，有 $f_{i, j} \leftarrow f_{i, 2 j}$ 。

复杂度 $O (n^{2})$ 。

代码

IV P3643 [APIO2016] 划艇

好题。

首先可以离散化，对于 $i$ ，表示选择区间 $[c_{i}, c_{i + 1})$ 中的划艇个数，利用左闭右开区间可以更好处理。

设 $f_{i, j}$ 表示前 $i$ 个学校，当前学校选择 $[c_{j}, c_{j + 1})$ 中的数的方案数，因为有可能前 $i - 1$ 个点也在该区间，所以我们先求若还有 $k$ 个点选择 $j$ 区间，插板法易得方案数为 $(\binom{c_{j} - c_{j + 1} + k}{k + 1})$ ，所以我们可以枚举不在区间 $j$ 的点。

若区间 $i$ 包含 $j$ 区间， $f_{i, j} = \sum_{k = 1}^{i - 1} \sum_{l = 1}^{j - 1} f_{k, j} \times (\binom{c_{j} - c_{j + 1} + k}{k + 1})$ 。

对于组合数有 $(\binom{n + 1}{m + 1}) = \frac{n + 1}{m + 1} (\binom{n}{m})$ ，展开易证，我们倒序枚举 $k$ ，可以 $O (1)$ 处理组合数。

对于 $\sum_{l = 1}^{j - 1} f_{k, j}$ ，其与后面的组合数没有关系，可以前缀和处理。

复杂度 $O (n^{3})$ ，记得预处理逆元，~~不要像我这个傻逼多写的 log 都不知道~~。

代码

V Random IS

直接 DP，有问题，具体是因为对于相同的选择，不同的顺序是会影响其概率的。

我们考虑区间 DP，设 $f_{i, j}$ ，表示钦定选定 $a_{i}, a_{j}$ 在区间 $(l, r)$ 内选择的期望。

这里有一个奇怪的地方，为何我们不考虑区间外的点呢，可以知道因为钦定了 $i, j$ 所以选择区间外的点是不影响区间内的可选点集的，即其影响到只是其时间先后，而不是顺序，即这些选择的顺序是不影响概率的，我们可以枚举中间节点进行转移。

所以有转移 $f_{i, j} = 1 + \frac{1}{c n t} \sum_{k = i + 1}^{j - 1} f_{i, k} + f_{j, k} [a_{i} < a_{k} < a_{j}], c n t = \sum_{k = i + 1}^{j - 1} [a_{i} < a_{k} < a_{j}]$ ，直接转移是 $O (n^{3})$ 。