动态规划习题
动态规划需要大量的练习，运用所学习的技巧与优化，本篇为练习。
\(n\) 很小，考虑状压，\(now\) 状态是一定要有的，每加一条边我们叶子节点会变化，这启示我们记录叶子结点的集合 \(p\)，设 \(f_{now,p}\) 表示 \(now\) 状态下，该树叶子结点状态为 \(p\) 的方案数，则对于一条边 \((i,j),i \in now,j \notin now\)，有
对于每个状态可能会有多算的，需要除上 \(|p|\)，初始化两个节点的情况，复杂度 \(\mathcal{O}(3^nn^2)\)。
我们有数列 \(a\)，对于 \(i\) 其是最大前缀和，则需要满足的条件：
- 对于 \(j < i，j \not= 1\)，需满足 \(\sum\limits_{k=j}^i \geq 0\)，即 \(i\) 之前的数列的后缀和不小于 \(0\)，总和除外。
- 对于 \(j > i\)，需要满足 \(\sum\limits_{k=i}^j < 0\)，即 \(i\) 之后的数列的前缀和小于 \(0\)。
\(n\) 较小，考虑状压，设 \(f_{now}\) 表示所有前缀和 \(< 0\) 的方案数，\(g_{now}\) 表示所有后缀和 \(\geq 0\) 的方案数，有：
- \(f_{now \cup \{i\} } \gets f_{now} \ \ \ \ , {i \notin now,s_{now \cup \{i\}} < 0}\)。
- \(g_{now \cup \{i\} } \gets g_{now} \ \ \ \ ,{i \notin now,s_{now \cup \{i\}} \geq 0}\)。
其中 \(s_{now}\) 表示 \(now\) 状态中所有节点权值和。
由于前缀总和的和不需要 \(< 0\)，所以我们在 DP 中直接计算答案，有：\(ans \gets f_{now} \times g_{all \setminus now \setminus \{i\}} \times s_{now \cup \{i\} }\)，\(all\) 表示全集，即 \((1 << n) - 1\)。
复杂度 \(\mathcal{O}(2^nn)\)。
III AT_arc107_d Number of Multisets
设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 个元素，和为 \(j\) 的方案数。
若为 \(1\)，\(f_{i,j} \gets f_{i-1,j-1}\)，否则可能成为分数，考虑由其他状态转移。
若为 \(\frac 1 2\)，则可以由 \(f_{i-1,2j-1}\) 转移，也就是将该状态的数都除 \(2\)，这样再加上 \(\frac 1 2\) 即为 \(j\)。
其余同理，类似前缀和的我们可以倒序枚举，有 \(f_{i,j} \gets f_{i,2j}\)。
复杂度 \(\mathcal{O}(n^2)\)。
好题。
首先可以离散化，对于 \(i\)，表示选择区间 \([c_i,c_{i+1})\) 中的划艇个数，利用左闭右开区间可以更好处理。
设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个学校，当前学校选择 \([c_j,c_{j+1})\) 中的数的方案数，因为有可能前 \(i-1\) 个点也在该区间，所以我们先求若还有 \(k\) 个点选择 \(j\) 区间，插板法易得方案数为 \(\dbinom {c_j - c_{j+1} + k} {k + 1}\)，所以我们可以枚举不在区间 \(j\) 的点。
若区间 \(i\) 包含 \(j\) 区间，\(f_{i,j} = \displaystyle\sum_{k=1}^{i-1}\sum_{l=1}^{j-1}f_{k,j} \times \dbinom {c_j - c_{j+1} + k} {k + 1}\)。
对于组合数有 \(\dbinom {n + 1} {m + 1} = \dfrac {n + 1} {m + 1}\dbinom n m\)，展开易证，我们倒序枚举 \(k\)，可以 \(\mathcal{O}(1)\) 处理组合数。
对于 \(\sum\limits_{l=1}^{j-1}f_{k,j}\)，其与后面的组合数没有关系，可以前缀和处理。
复杂度 \(\mathcal{O}(n^3)\)，记得预处理逆元，不要像我这个傻逼多写的 log 都不知道。
直接 DP，有问题，具体是因为对于相同的选择，不同的顺序是会影响其概率的。
我们考虑区间 DP，设 \(f_{i,j}\)，表示钦定选定 \(a_i,a_j\) 在区间 \((l,r)\) 内选择的期望。
这里有一个奇怪的地方，为何我们不考虑区间外的点呢，可以知道因为钦定了 \(i,j\) 所以选择区间外的点是不影响区间内的可选点集的，即其影响到只是其时间先后，而不是顺序，即这些选择的顺序是不影响概率的，我们可以枚举中间节点进行转移。
所以有转移 \(f_{i,j} = 1 + \dfrac 1 {cnt}\displaystyle\sum_{k = i+1}^{j-1}f_{i,k} + f_{j,k}[a_i < a_k < a_j],cnt =\displaystyle\sum_{k = i+1}^{j-1}[a_i < a_k < a_j]\)，直接转移是 \(\mathcal{O}(n^3)\)。
用数据结构维护下，可以达到 \(\mathcal{O}(n^2\log{n})\)，可以用 值域BIT。
