I 2019

D1 T1 格雷码

简单模拟，翻转只需减一下即可。

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D1 T2 括号树

我们令 $s_x$ 表示以 $x$ 点为结尾所能构成的合法序列的方案数，则我们可以在树上括号匹配，若点 $x$ 为右括号且匹配的左括号为 $u$ 点，则有 $s_x=s_{f{a}_u}+1$，最后每个节点的答案即为树上前缀和。

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D1 T3 树上的数

贪心 + 思维。部分分对于正解有启发作用。

暴力 10pts。

首先我们考虑贪心，从小到大枚举每一个数字，尽可能的让每个数字到达的点编号最小，所以我们只需要考虑是否可以使某个数字从 $u$ 到 $v$ 即可。

从菊花图开始，可以发现，删边顺序使节点间构成了一个环，我们可以用并查集维护这个环。

链的部分比较难，对于一个点最多只有三种删边情况，即 先删左，先删右，未删，对于一个 $u\to v$ 的路径，不妨设 $u<v$，我们发现。

• 对于 $u$，需要满足该点必须为先删右。
• 对于在 $u,v$ 中间的节点 $p$，需要满足该点必须先删左。
• 对于 $v$，需要满足该点必须为先删右。

这样我们可以 $\mathcal{O}(n)$ 判断是否可以满足条件，结合贪心即可。

对于一般的树，对于每个节点，相当于我们有一些先后关系，需要判断是否满足条件。不像链一样，我们只有少数情况，这些先后关系是及其复杂的。

这种先后关系我们可以用并查集/链表维护。

假设我们要 $u\to v$，我们逐个讨论：

• 对于 $u$，需要满足这个路径上的第一条边 $w$ 是该点最先删除的。详细一点，需要满足:
  • 该点最先删除的边为 $w$。
  • 不能有边在其前面删除。
  • 不能在已经维护好起点与终点所有顺序关系后还存在边未被删除。
• 对于 $v$，需要满足这个路径上的最后一条边 $w$ 是该点最后删除的。即：
  • 该点最后删除的边为 $w$。
  • 不能有边在其之后删除。
  • 不能在已经维护好起点与终点所有顺序关系后还存在边为被删除。
• 对于 $u,v$ 中间节点 $p$，该路径上的两条边 $w1$ 与 $w2$ 的先后顺序是必须相邻且顺序的。即：
  • $w1$ 之后的不能有边，$w2$ 之前不能有边。
  • $w1$ 不能是最后删边，$w2$ 不能是最先删边。
  • $w1$ 与 $w2$ 不能已经被删边。
  • 不能在已经加入两边后，使得维护好起点与终点顺序关系后还存在边未被删除。

这样我们从小到大枚举数字，再从小到大枚举节点，判断是否可行，这样复杂度是 $\mathcal{O}(n^3)$。

只需要以某个点为根，遍历整棵树，找出符合要求的最小节点编号，这样复杂度是 $\mathcal{O}(n^2\log n)$ 的。

细节多，思路厉害，是好题。

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D2 T1 Emiya 家今天的饭

限制 $3$ 比较强，可以发现一个性质：若有满足不符合要求的方案，则有且仅有一种主要食材不符合要求。则我们可以求出不符合要求的方案数，总方案数减去可得答案。

这样我们枚举主要食材为 $w$，让其作为不符合要求的食材。

则我们设 $f_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 种烹饪方式中，选用了 $j$ 种烹饪方式(满足性质 $2$)，且其中有 $k$ 种是用 $w$ 烹饪的。

则有转移方程 $f_{i,j,k}=f_{i-1,j,k}+f_{i-1,j-1,k}\times (s_i-a_{i,w})+f_{i-1,j-1,k-1}\times a_{i,w}$，其中 $s_i=\sum a_{i,j}$。

则不符合方案数即为 $k>\lfloor \frac{j}{2}\rfloor$ 的 DP 值，这样复杂度是 $\mathcal{O}(m{n}^3)$，84pts。

我们考虑优化，可以发现，我们不关心 $j$ 与 $k$ 的真实值，我们只关心是否 $k>\lfloor \frac{j}{2}\rfloor$。移项得 $2\times k-j>0$，即我们只关心这个值，我们可以消减状态，设 $f_{i,u}$ 表示前 $i$ 中烹饪方式中，使得 $2\times k-j=u$ 的方案数。

则有转移方程 $f_{i,u}=f_{i-1,u}+f_{i-1,u+1}\times (s_i-a_{i,w})+f_{i-1,u-1}\times a_{i,w}$。

复杂度 $\mathcal{O}(m{n}^2)$ 可过，注意 $u$ 可能为负数，需要加一个偏移量。

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D2 T2 划分

首先有 $\mathcal{O}(n^3)$ 的简单 DP，不过与正解无关。

对于 $s_1\le s_2$，当 $s_2$ 最小时，$s_1^2+s_2^2$ 最小。

这样我们设 $f_i$ 表示选择 $[f_i+1,i]$ 中的数组成一组数据，可以取得最小贡献，则我们可以贪心的选择尽可能靠右的决策点，可以 $\mathcal{O}(n^2)$ DP。

符合要求的决策点有 $s_i-s_j\ge s_j-s_{f_j}$，即为 $s_i\ge 2\times s_j-s_{f_j}$

我们可以单调队列优化，复杂度 $\mathcal{O}(n)$，不过输入真逆天。

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D2 T3 树的重心

我们考虑每个节点 $x$ 所造成的贡献，设删去一条边所减去的节点数为 $S$，则我们需要分讨是否在节点 $x$ 的最大子节点内。

这样是不好做的，我们考虑选择一个节点作为根，来去除这些麻烦，我们需要使最大节点固定，这样我们可以选择以原树的重心为根，这样除根以外的其他节点的最大节点都朝向根，即对于这些节点 $x$，删除其子树内的边不可能造成该点的贡献，这样我们就方便了许多。

这样我们对于除根以外的点 $x$，要使 $x$ 节点为根，需要满足 $2\times s_x\le n-S$ 以及 $2\times (n-si{z}_x-S)\le n-S$ 其中 $s_x$ 表示 $\underset{y\in x}{max}si{z}_y$。

移项可得 $n-2\times si{z}_x\le S\le n-2\times s_x$。

则我们只需要用树状数组求出即可，而对于 $x$ 子树内的边可以用树状数组在进出该点时相减一下即可，减去这些贡献即可。

最后我们只需要暴力考虑根节点所造成的贡献即可，即分讨一下再判断即可。

复杂度 $\mathcal{O}(Tn\log n)$。

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II 2019 江西重赛

T1 日期

暴力分讨即可。

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T2 和积和

我们考虑枚举 $i$，设当前 $s_i$ 表示 $r=i$ 所有 $l\in [1,i]$ 的和，可以发现，当我们 $i$ 增加时，相当于 $A\times B\to (A+a_i)\times (B+b_i)=AB+A{b}_i+a_{i}B+ab$。

我们考虑每个式子，首先有 $AB=s_{i-1}$，$A$ 即为所有前面 $a$ 的和的和，$B$ 同理，$ab$ 共出现了 $i$ 次（因为有 $i$ 个式子）。

则有 $s_i=s_{i-1}+b_i\times \sum _{j<i}j\times a_j+a_i\times \sum _{j<i}j\times b_j+i\times a_i\times b_i$。

简单维护即可，复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

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T3 网格图

考虑 Kruskal 的本质，即为贪心枚举边权，以及防止成环，则我们可以 $a,b$ 排个序，对于横线，我们考虑那些边不能连，可以发现是与 当前已加竖线条数 相关的。竖线同理。

复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$。

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T4 散步

我是历史学家，这就是史。

代你码

T5 多叉堆

考虑对于一棵树 $x$，新加入一个子树 $y$ 的贡献，首先需要满足 $x$ 节点最小，可以发现这些 $size\in [0,siz{e}_x+siz{e}_y)$ 是等价的，即它们只有大小关系，具体数值是不重要的，所以我们可以得出 $f_x={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{siz{e}_x+siz{e}_y-1}{siz{e}_y})}{f}_y{f}_x$，即在这些数中选 $siz{e}_y$ 个分配给 $y$ 子树。

对于合并可以并查集维护。

复杂度 $\mathcal{O}(n\alpha (n))$。

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