可持久化数据结构

一些需要 历史信息 时，我们可以根据 时间 进行可持久化操作。

1. 可持久化线段树

见 1。

3. 可持久化 Trie

和可持久化线段树一样的思想，没插入一个数，新建 $\log V$ 个节点，剩下的节点向 已有节点 相连即可。

I P5283 [十二省联考 2019] 异或粽子

可持久化 Trie 后我们考虑每个节点 $i$，建立一个大根堆，存 $n$ 个节点除选过的，$s_i$ 与其余点的最大值，每次选出堆顶，更新一下即可。

复杂度 $\mathcal{O}(n\log V+k\log n)$。

代码

II CF241B Friends
上一题的加强。

$k$ 比较大，不考虑关于 $k$ 的解法。

首先可以二分，二分 $mid$，我们求出所有与 $s_i$ 异或值 $\ge mid$ 的个数，可持久化 Trie 可以解决，判断一下，可以找到第 $k$ 大的异或值。具体在每个节点有一个 $size$ 存其字节点个数，查询时找出 $\ge mid$ 的点加上即可。

然后问题就转化成了找出与 $s_i$ 异或值 $\ge z$ 的值的和，我们在 Trie 上存储所有字节点的 $01$ 个数，拆一下贡献，查询时加上即可。

但是由于 异或和等于 $z$ 的方案可能不止一个，所以我们需要统计一下方案数，减去多余的贡献。

时间复杂度都是 $\mathcal{O}(n{\log }^{2}V)$，空间复杂度也是 $\mathcal{O}(n{\log }^{2}V)$ ，可能需要卡卡。

复杂度极其劣，跑的巨慢，其实可以直接不用可持久化，不过我没想到。

代码

III P3586 [POI2015] LOG

树剖比较 native，我们考虑分成两个 可持久化 Trie，一个维护 $dfn$ 序，一个维护到根路径，这样求个 $LCA$，查询一下，复杂度时 $\mathcal{O}(n\log V+m\log n)$。

代码