数据结构选练

数据结构题目练习。

首先有显然的 可持久化 Trie，但是暴力是 $O (n m \log V)$ ，找不到奇妙东西维护，我们就 大力分块，设块长为 $B$ ，则我们预处理 $p r e_{i, j}$ 表示从第 $i$ 块开头到 $j$ 点的最大异或和，复杂度 $O (\frac{n^{2}}{B} \log V)$ ，查询中，对于整块直接拿，对于散块，我们暴力查询，复杂度 $O (n B \log V)$ 。

总复杂度 $O (n \sqrt{n} \log V)$ 。

代码

II P4587 [FJOI2016] 神秘数

首先我们考虑神秘数的性质，一个集合 $S$ ，我们将其排序后从小到大枚举，假设当前神秘数为 $n o w$ ，上次神秘数为 $l a s t$ (若没有则为 $0$ )，当前枚举值为 $v a l$ ，则相当于所有值都可以向右平移一段 $v a l$ 的区间。

若 $l a s t + 1 \leq v a l \leq n o w + 1$ ，则平移后的区间可以覆盖到 $n o w$ ，则应该使 $n o w \leftarrow n o w + v a l$ 。
否则，平移后的区间一定不可以覆盖到 $n o w$ ，且 $S$ 集合剩余值也不可以，直接结束即可。

上述复杂度是 $\log (\sum S)$ 的。

证明：若 $l a s t + 1 \leq v a l \leq n o w + 1$ ，则会使 $n o w$ 至少加 $l a s t$ ，则相当于 $n o w$ 每次扩大两倍，即复杂度为 $\log (\sum S)$ 。

查询区间 $[l, r]$ 且值域在 $[v, u]$ 之间的权值和，可用主席树解决。

复杂度 $O (n \log n \log (\sum a_{i}))$ 。

代码

III P3247 [HNOI2016] 最小公倍数

首先可以不是简单路径，这启示我们用并查集，但 $a, b$ 的二维限制有些不可做，我们可以先想暴力，对于每个询问只需将所有 $a_{i} \leq a$ 且 $b_{i} \leq b$ 的所有边加入并查集，并维护最大 $a, b$ 值，判断 $u, v$ 是否在一个联通块内，且最大值即为 $a, b$ ，这样可以 $O (m q \log n)$ 。