K-D Tree 笔记

知周所众，若是在线的话，一维信息可用多数数据结构维护，二维数据结构可以用某套某维护，K-D Tree 是一个可以维护 $K$ 维信息的数据结构。

1. K-D Tree 的建立

在一个 $k$ 维空间，存在一些点，K-D Tree 可以找出一个 $k$ 维超立方体内的 权值和。

1.1 K-D Tree 的思想

K-D Tree 本质是一个 BST，其为一个二叉树，每个节点储存的是一个包含其所有子节点的 $k$ 维超立方体。

struct dat{
	int ls,rs,val;//子树
	int mi[k],mx[k];//k 维超立方体的边界
};

我们考虑如何建出一个 K-D Tree，主要思想是分割，我们选择一个维度，让该区间依照其分割成两块，显然我们取 中位数最佳，找中位数可以用 STL 中的 nth_element，可以 $O (n)$ 查找，这样每次分成两块，复杂度是 $O (k n \log n)$ 的。

类似这样。

(图源为 OI-wiki)

1.2 维度的查找

如何选择一个维度呢？有一个暴力的方法是一个接着一个维度选即可，即轮换划分。
还有一个方法是分别将每个维度求个方差，我们选择方差最大的维度。

这里以 2-D Tree 为例。

void build(int &p,int l,int r){
	if(l > r)return p = 0,void();
	w[0] = w[1] = av[0] = av[1] = 0;
	for(int i = l;i <= r;i++)
		for(int j = 0;j < 2;j++)av[j] += a[i].x[j];
	for(int j = 0;j < 2;j++)av[j] = av[j] / (r-l+1);
	for(int i = l;i <= r;i++)
		for(int j = 0;j < 2;j++)w[j] += (a[i].x[j] - av[j]) * (a[i].x[j] - av[j]);//求方差
	int mid = l + r >> 1,op = w[1] > w[0] ? 1 : 0;
	nth_element(a+l,a+mid,a+r+1,[&](made a,made b){return a.x[op] < b.x[op];});//找中位数
	p = mid;
	build(ls(p),l,mid-1),build(rs(p),mid+1,r);
	pushup(p); 
}

2. K-D Tree 的查询

我们类似线段树，根据每个节点所存的 $k$ 维超立方体，我们与询问求交，若包含则返回，若有交则递归，否则返回。

int cal(int p,int l,int r,int L,int R){
	if(!p || s[p].mi[0] > r || s[p].mx[0] < l || s[p].mi[1] > R || s[p].mx[1] < L)return 0;//无交
	if(l <= s[p].mi[0] && s[p].mx[0] <= r && L <= s[p].mi[1] && s[p].mx[1] <= R)return s[p].val;//包含
	int res = 0;
	if(l <= a[p].x[0] && a[p].x[0] <= r && L <= a[p].x[1] && a[p].x[1] <= R)res = a[p].z;
	return res + cal(ls(p),l,r,L,R) + cal(rs(p),l,r,L,R);//递归
}

复杂度分析

比较难理解。
考虑 2-D Tree，查询矩阵 $R$ 时，我们将每个节点分为三种:

与 $R$ 无交。
被 $R$ 包含。
部分被 $R$ 包含。

我们只要注意第三类即可。
注意到部分被包含的节点，一定存在一条 $R$ 的边穿过，这样我们只需计算 $R$ 的每条边穿过的矩阵数即可，即任意一条线段最多能经过多少个点对应的矩阵。

对于每个节点 $u$ ，其孙子将其分成了四个矩阵，则一条线段最多经过两个区域，即第三类点最多进入其孙子节点。

则有递归式： $T (n) = 2 T (\frac{n}{4}) + O (1)$ 。

根据主定理得 $T (n) = O (\sqrt{n})$ 。

将递归式推广到 $k$ 维得 $T (n) = 2^{k - 1} T (\frac{n}{2^{k}}) + O (1)$ ，根据主定理得 $T (n) = O (n^{1 - \frac{1}{k}})$ 。

3. K-D Tree 的插入

K-D Tree 虽然是一个 BST，但由于其结构不能旋转，所以直接插入的复杂度无法保证。

有一种类似 替罪羊树 的维护方法，但是复杂度貌似不对，建议不学。

有两种方法。

3.1 根号重构

在插入时存下来，设阈值为 $B$ ，我们每插入 $B$ 次进行一次重构，查询时需要额外枚举未重构的点，总复杂度 $O (\frac{n^{2} \log n}{B} + n B + n^{2 - \frac{1}{k}})$ ，当 $B = \sqrt{n \log n}$ 取到 $O (n \sqrt{n \log n})$ 。

2.3 二进制分组

这个不太懂..

4. 例题

I P4148 简单题

经典的二维矩阵问题，但是在线不能 CDQ，内存不能 树套树，这就是 K-D Tree 的唯一用途了。

有插入，根号重构一下。

复杂度 $(n \sqrt{n \log n})$ ，时限 8s，最大点跑了 2s，也不慢。

代码

II P5471 [NOI2019] 弹跳

非常经典且厉害，首先这是一个二维平面，每个弹跳装置可以从一个点花费 $t_{i}$ 的时间到一个矩阵区间，显然可以 K-D Tree优化建图，然后跑一遍 dij，时空复杂度都是 $O (n \sqrt{n})$ ，空间会爆，得分 52 pts，~~为什么这么少，我的实现可能有点问题~~。