数据结构优化建图

写 $2 - S A T$ 时刷到的，发现好像一点不会，学习下。

1. 线段树优化建图

当一个点与一段区间连边时，暴力连是 $O (n^{2})$ 的。
因为线段树有一个肥肠优秀的性质，一个区间最多被分为 $O (l o g n)$ 个节点。
so，我们可以把区间当成放到线段树上，这样是 $O (n l o g n)$ 的。
具体的，我们建立一个入线段树与出线段树，初始都连长度为 $0$ 的边。
这是图片
建图时根据区间建即可。

当区间到区间建图时，可以建立一个虚点，让 区间->虚点p->区间，复杂度不变，常数较大。

肥肠的神奇啊。

I CF786B Legacy

裸题，建树建边即可，详见代码

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std;
//线段树优化建图模版 
#define ll long long
#define pii pair<ll,ll>
#define fi first
#define se second
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define inf 1e18
//神tm pair要开longlong!!! 

const int N = 2e6+10,K = 5e5;


int n,q,s;
struct made{
    int ver,nx;ll ed;
}e[N<<1];
int hd[N],tot;
void add(int x,int y,ll z){
    tot++;
    e[tot].nx = hd[x],e[tot].ver = y,e[tot].ed = z,hd[x] = tot;
}


int a[N];
void build(int p,int l,int r){
    if(l == r)return a[l] = p,void();
    add(p<<1,p,0),add(p<<1|1,p,0);
    add(p+K,(p<<1)+K,0),add(p+K,(p<<1|1)+K,0);
    int mid = l + r >> 1;
    build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
}
void add(int p,int x,int L,int R,int l,int r,ll z,bool op){
    if(L <= l && r <= R)return op?add(a[x],p+K,z) : add(p,a[x]+K,z),void();
    int mid = l + r >> 1;
    if(L <= mid)add(p<<1,x,L,R,l,mid,z,op);//
    if(R > mid)add(p<<1|1,x,L,R,mid+1,r,z,op);
}//线段树建 入树(p) 与 出树(p+K)


bool v[N];
ll d[N];
void dij(int u){
    memset(v,0,sizeof v);
    for(int i = 1;i <= 2*K;i++)d[i] = inf;
    priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q;
    d[u] = 0;q.push(mp(0,u));
    while(!q.empty()){
        int x = q.top().se;q.pop();
        if(v[x])continue;
        v[x] = 1;
        for(int i = hd[x];i;i = e[i].nx){
            int y = e[i].ver;ll z = e[i].ed;
            if(d[y] > d[x] + z){
                d[y] = d[x] + z;
                q.push(mp(d[y],y));
            }
        }
    }
}//dijdij
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&q,&s);
    build(1,1,n);
    for(int i = 1;i <= n;i++)add(a[i]+K,a[i],0);
    for(int i = 1;i <= q;i++){
        int op,x,y,l,r;ll z;
        scanf("%d%d",&op,&x);
        if(op == 1)scanf("%d%lld",&y,&z),add(a[x],a[y]+K,z);
        else if(op == 2)scanf("%d%d%lld",&l,&r,&z),add(1,x,l,r,1,n,z,1);
        else scanf("%d%d%lld",&l,&r,&z),add(1,x,l,r,1,n,z,0);
    }
    dij(a[s]);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        if(d[a[i]] == inf)printf("-1 ");
        else printf("%lld ",d[a[i]]);
    }
    printf("\n");
    
    
    
    return 0;
    
}

II P6348 [PA2011] Journeys
裸题，只是区间向区间连边

代码

III P9520 [JOISC2022] 监狱
非常好的一道题。

我们可以发现一个性质

如果一个方案满足条件，则必然存在一种情况使每个囚犯都独立的由起点走向终点。
证明：如果一个囚犯走到一半，另一个囚犯再走这种方案满足条件，则两个囚犯独立走也一定满足条件。

所以每个囚犯只需自己走即可。
我们考虑囚犯的先后顺序，定义有向边 $(x, y)$ 代表 $x$ 号囚犯需要第 $y$ 号囚犯先走，才可以满足条件。
可以发现：

一个囚犯 $i$ ，若有囚犯 $j$ 的起点在囚犯 $i$ 的路径上时，需要连接 $i \to j$
类似的，一个囚犯 $i$ ，若有囚犯 $j$ 的终点在囚犯 $i$ 的路径上时，需要连接 $j \to i$

最后只需判断是否存在环即可。

但是这样的边数为 $O (n^{2})$ ，考虑优化建图。
因为我们判环可以 $O (m)$ 判环，所以可以直接 树剖加线段树优化建图，直接 $O (n l o g n^{2})$ 。
能过。

不过在树上也可以用倍增优化建图或前后缀优化建图。
都可以把边数优化到 $O (n l o g n)$ 。

倍增优化的常数有些大，导致其实跑的差不多快

代码(树剖+线段树)

IV P5025 [SNOI2017] 炸弹

首先暴力建边，我们可以缩点后在 $D A G$ 上 $D P$ 。
复杂度瓶颈在建边。

直接套线段树优化建边即可，稍难写。

代码

V P3588 [POI2015] PUS

首先我们可以将 $a_{i} > a_{j}$ 变为从 $i$ 向 $j$ 连一条边长为 1 的边。
因为连的边长都为 $1$ ，所以我们可以拓扑序遍历，判断环以及是否符合条件即可。

然后我们考虑边的优化，我们建一个虚点x，让 $k$ 连 $x$ ，然后让 $x$ 连 $k$ 个数的区间即可。
可以用线段树优化建图。

代码

2. 前后缀优化建图

当我们需要一个集合内的点互相连边时，可优化到 $O (n)$ 。

I P6378 [PA2010] Riddle
可以发现，每条边至少选一个点，每个部分只能选一个点。

这是一个 $2 - S A T$ 问题，只需要考虑 $! p \to q$ 和 $p \to! q$ 即可。
但这样我们发现边数是 $O (n^{2})$ 的，用 $t a r j a n$ 找环的复杂度也是 $O (n^{2})$ 的。

需要优化建图。
为了简化建边，我们需要一些多余的点，叫做虚点。
我们可以首先把集合拉成一个序列，我们可以类似于前缀和一样建一个前缀节点，第 $i$ 个前缀节点连着前 $i$ 个点。
这样我们只需要多建 $n$ 个点与 $2 n$ 条边就可完成建边。类似的，我们也同样建 $n$ 个后缀节点。
这样第 $i$ 个点想要连接其他的点只需要连接第 $i - 1$ 个前缀节点与第 $i + 1$ 个后缀节点两条边即可。

这样一共有 $8 n$ 条边，复杂度线性。
跑下 $2 - S A T$ 即可。

代码

*II P5344 【XR-1】逛森林
非常脑残卡内存，导致我的前后缀优化 $M L E$ ，: (。

首先一个显然的方法是直接树剖 + 线段树，此时 $m = n l o g n^{2}$ ，复杂度 $O (n l o g n^{3})$ ，不论空间还是时间都爆。

考虑在树剖上做文章，我们考虑暴力树剖时，每个节点到该重链的根都需要 $l o g n$ 条边。
可以看出一个树的重链结构是不变的，所以我们可以考虑前后缀优化建图，具体就是每个节点加两个虚点，前后缀连边，这样每次树剖到重链根时就可以 $O (1)$ 连接虚点，但当到两个点在一条重链上时，到不了重链根，只能线段树建图，这样总建边数就为 $2 l o g n$ ，空间很大，总复杂度 $O (n l o g n^{2})$ 。
能过？被卡了。(真的是又长又shit)