数据结构优化建图
写 \(2-SAT\) 时刷到的，发现好像一点不会，学习下。
1. 线段树优化建图
当一个点与一段区间连边时，暴力连是 \(O(n^2)\) 的。
因为线段树有一个肥肠优秀的性质，一个区间最多被分为 \(O(logn)\) 个节点。
so，我们可以把区间当成放到线段树上，这样是 \(O(nlogn)\) 的。
具体的，我们建立一个入线段树与出线段树，初始都连长度为 \(0\) 的边。
建图时根据区间建即可。
- 当区间到区间建图时，可以建立一个 虚点，让 区间->虚点p->区间，复杂度不变，常数较大。
肥肠的神奇啊。
裸题，建树建边即可，详见代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//线段树优化建图模版
#define ll long long
#define pii pair<ll,ll>
#define fi first
#define se second
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define inf 1e18
//神tm pair要开longlong!!!
const int N = 2e6+10,K = 5e5;
int n,q,s;
struct made{
int ver,nx;ll ed;
}e[N<<1];
int hd[N],tot;
void add(int x,int y,ll z){
tot++;
e[tot].nx = hd[x],e[tot].ver = y,e[tot].ed = z,hd[x] = tot;
}
int a[N];
void build(int p,int l,int r){
if(l == r)return a[l] = p,void();
add(p<<1,p,0),add(p<<1|1,p,0);
add(p+K,(p<<1)+K,0),add(p+K,(p<<1|1)+K,0);
int mid = l + r >> 1;
build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
}
void add(int p,int x,int L,int R,int l,int r,ll z,bool op){
if(L <= l && r <= R)return op?add(a[x],p+K,z) : add(p,a[x]+K,z),void();
int mid = l + r >> 1;
if(L <= mid)add(p<<1,x,L,R,l,mid,z,op);//
if(R > mid)add(p<<1|1,x,L,R,mid+1,r,z,op);
}//线段树建 入树(p) 与 出树(p+K)
bool v[N];
ll d[N];
void dij(int u){
memset(v,0,sizeof v);
for(int i = 1;i <= 2*K;i++)d[i] = inf;
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q;
d[u] = 0;q.push(mp(0,u));
while(!q.empty()){
int x = q.top().se;q.pop();
if(v[x])continue;
v[x] = 1;
for(int i = hd[x];i;i = e[i].nx){
int y = e[i].ver;ll z = e[i].ed;
if(d[y] > d[x] + z){
d[y] = d[x] + z;
q.push(mp(d[y],y));
}
}
}
}//dijdij
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&q,&s);
build(1,1,n);
for(int i = 1;i <= n;i++)add(a[i]+K,a[i],0);
for(int i = 1;i <= q;i++){
int op,x,y,l,r;ll z;
scanf("%d%d",&op,&x);
if(op == 1)scanf("%d%lld",&y,&z),add(a[x],a[y]+K,z);
else if(op == 2)scanf("%d%d%lld",&l,&r,&z),add(1,x,l,r,1,n,z,1);
else scanf("%d%d%lld",&l,&r,&z),add(1,x,l,r,1,n,z,0);
}
dij(a[s]);
for(int i = 1;i <= n;i++){
if(d[a[i]] == inf)printf("-1 ");
else printf("%lld ",d[a[i]]);
}
printf("\n");
return 0;
}
II P6348 [PA2011] Journeys
裸题，只是区间向区间连边
III P9520 [JOISC2022] 监狱
非常好的一道题。
我们可以发现一个性质
- 如果一个方案满足条件，则必然存在一种情况使每个囚犯都独立的由起点走向终点。
- 证明：如果一个囚犯走到一半，另一个囚犯再走这种方案满足条件，则两个囚犯独立走也一定满足条件。
所以每个囚犯只需自己走即可。
我们考虑囚犯的先后顺序，定义有向边 \((x,y)\) 代表 \(x\) 号囚犯需要第 \(y\) 号囚犯先走，才可以满足条件。
可以发现：
- 一个囚犯 \(i\)，若有囚犯 \(j\) 的起点在囚犯 \(i\) 的路径上时，需要连接 \(i \rightarrow j\)
- 类似的，一个囚犯 \(i\)，若有囚犯 \(j\) 的终点在囚犯 \(i\) 的路径上时，需要连接 \(j \rightarrow i\)
最后只需判断是否存在环即可。
但是这样的边数为 \(O(n^2)\)，考虑优化建图。
因为我们判环可以 \(O(m)\) 判环，所以可以直接 树剖加线段树优化建图，直接 \(O(nlogn^2)\)。
能过。
不过在树上也可以用倍增优化建图或前后缀优化建图。
都可以把边数优化到 \(O(nlogn)\)。
- 倍增优化的常数有些大，导致其实跑的差不多快
首先暴力建边，我们可以缩点后在 \(DAG\) 上 \(DP\)。
复杂度瓶颈在建边。
直接套线段树优化建边即可，稍难写。
首先我们可以将 \(a_i > a_j\) 变为从 \(i\) 向 \(j\) 连一条边长为 1 的边。
因为连的边长都为 \(1\)，所以我们可以拓扑序遍历，判断环以及是否符合条件即可。
然后我们考虑边的优化，我们建一个虚点x，让 \(k\) 连 \(x\)，然后让 \(x\) 连 \(k\) 个数的区间即可。
可以用线段树优化建图。
2. 前后缀优化建图
当我们需要一个集合内的点互相连边时，可优化到 \(O(n)\)。
I P6378 [PA2010] Riddle
可以发现，每条边至少选一个点，每个部分只能选一个点。
这是一个 \(2 - SAT\) 问题，只需要考虑 \(!p \rightarrow q\) 和 \(p \rightarrow !q\) 即可。
但这样我们发现边数是 \(O(n^2)\) 的，用 \(tarjan\) 找环的复杂度也是 \(O(n^2)\) 的。
需要优化建图。
为了简化建边，我们需要一些多余的点，叫做虚点。
我们可以首先把集合拉成一个序列，我们可以类似于前缀和一样建一个前缀节点，第 \(i\) 个前缀节点连着前 \(i\) 个点。
这样我们只需要多建 \(n\) 个点与 \(2n\) 条边就可完成建边。类似的，我们也同样建 \(n\) 个后缀节点。
这样第 \(i\) 个点想要连接其他的点只需要连接第 \(i-1\) 个前缀节点与第 \(i+1\) 个后缀节点 两条边即可。
这样一共有 \(8n\) 条边，复杂度线性。
跑下 \(2-SAT\) 即可。
*II P5344 【XR-1】逛森林
非常脑残卡内存，导致我的前后缀优化 \(MLE\)，: (。
首先一个显然的方法是直接 树剖 + 线段树，此时 \(m = nlogn^2\)，复杂度 \(O(nlogn^3)\)，不论空间还是时间都爆。
考虑在树剖上做文章，我们考虑暴力树剖时，每个节点到该重链的根都需要 \(logn\) 条边。
可以看出一个树的重链结构是不变的，所以我们可以考虑前后缀优化建图，具体就是每个节点加两个虚点，前后缀连边，这样每次树剖到重链根时就可以 \(O(1)\) 连接虚点，但当到两个点在一条重链上时，到不了重链根，只能线段树建图，这样总建边数就为 \(2logn\)，空间很大，总复杂度 \(O(nlogn^2)\)。
能过？被卡了。(真的是又长又shit)
还是写倍增优化吧~ : (
