【NOI OL #3】魔法值

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设$f_{i,u}$表示第$i$天$u$城市的魔法值。写一下式子：$$f_{i,u}=\bigoplus\limits_{(u,v)} f_{i-1,v}$$

其中$\bigoplus$表示连续异或。

然后考虑加入邻接矩阵$g_{u,v}$取代枚举出边：$$f_{i,u}=\bigoplus\limits_{v=1}^n f_{i-1,v}\times g_{u,v}$$

然后我们发现，这是个异或的矩阵乘法。

设$F_i$表示第$i$天的各城市魔法值的向量，$G$表示邻接矩阵，定义异或和$$(A\oplus B)_{i,j}=\bigoplus\limits_{t=1}^k A_{i,t}\times B_{t,j}$$

那么$$\begin{matrix}F_i=F_0\oplus &\underbrace{G\oplus G\oplus \cdots \oplus G}\\&i个G\end{matrix}$$

考虑矩阵快速幂。先证一下结合律，即求证：$$A\oplus B\oplus C=A\oplus (B\oplus C)$$

写一下式子：设$A$是$n\times p$矩阵，$B$是$p\times q$矩阵，$C$是$q\times m$矩阵，它们的异或和是$n\times m$矩阵。

$$(A\oplus B\oplus C)_{i,j}=\bigoplus\limits_{x=1}^q (\bigoplus\limits_{y=1}^p A_{i,y}\times B_{y,x})\times C_{x,j}$$

注意：一般来说，异或对乘法是没有分配率的，例如$3\times(1\oplus 2)=9\ne (3\times 1)\oplus (3\times 2)=5$。

但是注意到$C$矩阵一定是一个$01$矩阵（显然，如果一些$01$矩阵进行异或和运算，只有乘法和异或，结果一定也还是$01$矩阵），它拆括号乘进去，不管$C_{x,j}$是$0$还是$1$，整个式子的值都不会发生变化。

那么得到$$(A\oplus B\oplus C)_{i,j}=\bigoplus\limits_{x=1}^q\bigoplus \limits_{y=1}^p A_{i,y}\times B_{x,y}\times C_{x,j}$$

同理，对于$A\oplus(B\oplus C)$，也可以同样写出式子去括号得到相同的结果，因此两者相等。也即，当$C$是$01$矩阵时，异或和运算满足结合律。

那么$$F_i=F_0\oplus G^i$$

其中$G^i=\bigoplus\limits_{j=1}^i G$。

考虑到$F_0\oplus G$的时间复杂度是$O(n^2)$，而$G\oplus G$的时间复杂度是$O(n^3)$，因此如果我们对于每次询问都跑一遍矩阵快速幂的话，时间复杂度是$O(n^3q\log a)$，期望得分40分。

那我们考虑预处理出所有$G^{2^k}$，每次询问对$a_i$进行二进制拆分，用$F_0$异或一些$G^{2^k}$，时间复杂度是$O(n^3\log a)-O(n^2q\log a)$，可以得到满分。

这里$O(f_1)-O(f_2)$表示，预处理时间复杂度为$O(f_1)$，其余时间复杂度为$O(f_2)$。

还有就是，$2^{32}-1=4,294,967,295$，它比$INT\_MAX$的$2,147,483,647$要大。自闭了。

 

代码（100分）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define IL inline
#define RG register
#define _1 first
#define _2 second
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100;
const int L=32;

    int n,m,q;
    LL a[N+3];
    
struct Mtx{
    int n,m;
    LL a[N+3][N+3];
    
    Mtx(int n=0,int m=0)
        :n(n),m(m){}
    
    IL Mtx operator*(Mtx b){
        Mtx c(n,b.m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=b.m;j++){
                c.a[i][j]=0;
                for(int k=1;k<=m;k++)
                    c.a[i][j]^=a[i][k]*b.a[k][j];
                
            }
        return c;
        
    }
    
}g[L+3],f;

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&u,&v);
        g[0].a[u][v]=g[0].a[v][u]=1;
        
    }
    
    g[0].n=g[0].m=n;
    for(int i=1;i<L;i++)
        g[i]=g[i-1]*g[i-1];
    
    f.n=1;    f.m=n;
    for(LL x;q;q--){
        scanf("%lld",&x);
        memcpy(f.a[1]+1,a+1,n*sizeof(LL));
        for(int j=0;j<L;j++)
        if((x>>j)&1)
            f=f*g[j];
        printf("%lld\n",f.a[1][1]);
        
    }

    return 0;

}