【NOIP2013】火柴排队

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把距离的式子搞一搞：$$\sum_i(a_i-b_i)^2=\sum_i(a_i^2+b_i^2)-2\sum_i a_i\times b_i$$

要让距离最小，就要让$\sum\limits_i a_i\times b_i$最大。由排序不等式可知，两列数字中大小顺序对应的相乘，最后再相加的总和最大。这里是证明

于是我们离散化一下，考虑邻项交换使两个排列相等最少需要多少次。

考虑固定一个排列，操作另一个排列。

为什么可以这样做呢？首先，我们设$a$在①态，$b$在②态。假设我们找出任意一个最优解操作序列$P$，那么我们把对$a$的操作$S$单独拿出来先完成，使$a$到达了③态。这时候你会发现，其余的对$b$的操作$T$也使$b$到达了③态。那其实我们可以只对$b$操作，就是先$T$再$\bar{S}$（反着做$S$），这是可行的。

接下来考虑如何安排这个操作？既然$b$中的每个位置都有了自己的目标位置，那我们当然可以给它们重新赋上目标位置的值，然后跑逆序对了。

这个程序是用归并排序求的逆序对。

 

程序（100分）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define IL inline
#define RG register
#define _1 first
#define _2 second
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5;
const LL mod=1e8-3;

    int n;
    
struct Node{
    int d,x;
}p[N+3],q[N+3];

IL bool cmp1(Node a,Node b){return a.d<b.d;}
IL bool cmp2(Node a,Node b){return a.x<b.x;}

    int a[N+3];

IL void init(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        p[i].d=q[i].d=i;
    
    sort(p+1,p+n+1,cmp2);
    sort(q+1,q+n+1,cmp2);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        q[i].x=p[i].d;
    sort(q+1,q+n+1,cmp1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=q[i].x;
    
}

    int t[N+3];
    LL cnt;

void msort(int l,int r){
    if(l>=r)    return ;
    
    int mid=(l+r)>>1;
    msort(l,mid);    msort(mid+1,r);
    for(int i=l,j=mid+1,k=l;k<=r;k++)
    if(j>r||(i<=mid&&a[i]<a[j]))
        t[k]=a[i++];
    else {
        t[k]=a[j++];    cnt=(cnt+(LL)(mid-i+1))%mod;
    }
    
    for(int i=l;i<=r;i++)
        a[i]=t[i];
    
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&p[i].x);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&q[i].x);
        
    init();
    cnt=0;
    msort(1,n);
    
    printf("%lld",cnt);

    return 0;

}