1596: [Usaco2008 Jan]电话网络

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Description

Farmer John决定为他的所有奶牛都配备手机，以此鼓励她们互相交流。不过，为此FJ必须在奶牛们居住的N(1 <= N <= 10,000)块草地中选一些建上无线电通讯塔，来保证任意两块草地间都存在手机信号。所有的N块草地按1..N 顺次编号。 所有草地中只有N-1对是相邻的，不过对任意两块草地A和B(1 <= A <= N; 1 <= B <= N; A != B)，都可以找到一个以A开头以B结尾的草地序列，并且序列中相邻的编号所代表的草地相邻。无线电通讯塔只能建在草地上，一座塔的服务范围为它所在的那块草地，以及与那块草地相邻的所有草地。 请你帮FJ计算一下，为了建立能覆盖到所有草地的通信系统，他最少要建多少座无线电通讯塔。

Input

* 第1行: 1个整数，N

* 第2..N行: 每行为2个用空格隔开的整数A、B，为两块相邻草地的编号

Output

* 第1行: 输出1个整数，即FJ最少建立无线电通讯塔的数目

Sample Input

5
1 3
5 2
4 3
3 5

输入说明:

Farmer John的农场中有5块草地：草地1和草地3相邻，草地5和草地2、草地
4和草地3，草地3和草地5也是如此。更形象一些，草地间的位置关系大体如下：
（或是其他类似的形状）
4 2
| |
1--3--5

Sample Output

2

输出说明:

FJ可以选择在草地2和草地3，或是草地3和草地5上建通讯塔。

HINT

 

Source

Gold

 

题解：一道经典的树状DP题，我们可以进行分类讨论，设$f[i,j]$表示第i个点，$j=0$表示选当前点的最优值，$j=1$表示不选当前点且当前点已经被控制的最优值,$j=2$表示不选当前点且当前点不被控制的最优值（但是当前点下属的节点必须完全被控制），设$y$为$x$的下属节点，则有下述关系：

 

$b[x,0]=\sum min(b[y,0],b[y,1],b[y,2])$

对于$b[x,1]$，如果存在$b[y,0] \leq b[y,1]$则$b[x,1]=\sum min(b[y,0],b[y,1])$；否则$b[x,1]=\sum b[y,1] +\min(b[y,0]-b[y,1])$；如果不可能成立则$b[x,1]=2147483647$

$b[x,2] = \sum b[y,1]$；如果不可能存在则$b[x,2]=2147483647$

 

公式如上，然后DP即可，注意最终的结果应该是$min(b[1,0],b[1,1])$，而不是$min(b[1,0],b[1,1],b[1,2])$，毕竟最后一个节点要是方案合法的话，还是必须要被控制的（PS：$2147483647= maxlongint$仅代表一个较大的数，便于后续比对操作）

 

/**************************************************************
    Problem: 1596
    User: HansBug
    Language: Pascal
    Result: Accepted
    Time:52 ms
    Memory:2500 kb
****************************************************************/
 
type
    point=^node;
    node=record
               g:longint;
               next:point;
    end;
var
   i,j,k,l,m,n:longint;
   a:array[0..100000] of point;
   b:array[0..100000,0..2] of longint;
   c:array[0..100000] of longint;
procedure add(x,y:longint);
          var p:point;
          begin
               new(p);p^.g:=y;
               p^.next:=a[x];a[x]:=p;
          end;
function min(x,y:longint):longint;
         begin
              if x<y then min:=x else min:=y;
         end;
procedure dp(x:longint);
          var
             p:point;
             a1,a2,a3,a4,a5:longint;
          begin
               p:=a[x];c[x]:=1;
               a1:=0;a2:=0;
               a3:=0;a4:=0;a5:=maxlongint;
               while p<>nil do
                     begin
                          if c[p^.g]=0 then
                             begin
                                  dp(p^.g);
                                  a1:=a1+min(min(b[p^.g,0],b[p^.g,1]),b[p^.g,2]);
                                  if b[p^.g,1]=maxlongint then a3:=maxlongint
                                  else if a3<>maxlongint then a3:=a3+b[p^.g,1];
                                  if b[p^.g,0]<=b[p^.g,1] then
                                     begin
                                          a4:=1;
                                          a2:=a2+b[p^.g,0];
                                     end
                                  else
                                      begin
                                           a5:=min(a5,b[p^.g,0]-b[p^.g,1]);
                                           a2:=a2+b[p^.g,1];
                                      end;
                             end;
                          p:=p^.next;
                     end;
               if a4=0 then a2:=a2+a5;
               a1:=a1+1;
               b[x,0]:=a1;b[x,1]:=a2;b[x,2]:=a3;
          end;
begin
     readln(n);
     for i:=1 to n do a[i]:=nil;
     for i:=1 to n-1 do
         begin
              readln(j,k);
              add(j,k);add(k,j);
         end;
     fillchar(c,sizeof(c),0);
     fillchar(b,sizeof(b),0);
     dp(1);
     writeln(min(b[1,1],b[1,0]));
     readln;
end.