关于使用lazytag的线段树两种查询方式的比较研究
说到线段树，想来大家并不陌生——最基本的思路就是将其规划成块，然后只要每次修改时维护一下即可。
但是尤其是涉及到区间修改时，lazytag的使用往往能够对于程序的质量起到决定性作用（Ex：一般JSOI2008左右的线段树题目，如果有区间修改的话，那么假如普普通通的一个个修改的话，那么一般30分左右，甚至更少；而有了神奇的lazytag，只要别的地方写的还算基本到位，一般就Accept了）
lazytag的基本思想也就是在需要修改的区间打上标记，然后下次动态维护标记和真正值之间的关系，然后查询或者下一个修改操作涉及此区间时，进行进一步维护。
于是，此时就存在两种不同的查询操作了（此处以BZOJ1798为例）
方案一：当查询过程中，遇到了带有标记的点，则将其记录下来（即并入综合的修改参数里面），然后当刚好找到合适区间是，再操作之
1 function cal(z,x,y,l,r:longint;d:vet):int64;inline; 2 var d1:vet; 3 begin 4 if l>r then exit(0); 5 d1:=merge(b[z],d); 6 if (x=l) and (y=r) then exit(((a[z]*d1.a0) mod p+(d1.a1*((r-l+1) mod p)) mod p) mod p); 7 exit((cal(z*2,x,(x+y) div 2,l,min((x+y) div 2,r),d1)+cal(z*2+1,(x+y) div 2+1,y,max((x+y) div 2+1,l),r,d1)) mod p); 8 end;
这个方案在操作时，实际上并没有动任何的标记，直接通过现有的标记求出了值
方案二：查询过程中遇到标记点的话，则将其扩展下去，保证一路下来都不存在标记点，然后到地方了之后直接返回数值
1 function cal(z,x,y,l,r:longint):int64;inline; 2 begin 3 if l>r then exit(0); 4 ext(z,x,y); 5 if (x=l) and (y=r) then exit(a[z]); 6 exit((cal(z*2,x,(x+y) div 2,l,min((x+y) div 2,r))+cal(z*2+1,(x+y) div 2+1,y,max((x+y) div 2+1,l),r)) mod p); 7 end;
附：ext操作和merge操作
1 function merge(d1,d2:vet):vet;inline; 2 var d3:vet; 3 begin 4 d3:=d1; 5 d3.a0:=d3.a0 mod p;d3.a1:=d3.a1 mod p; 6 d2.a0:=d2.a0 mod p;d2.a1:=d2.a1 mod p; 7 d3.a0:=(d3.a0*d2.a0) mod p; 8 d3.a1:=((d3.a1*d2.a0) mod p+d2.a1) mod p; 9 exit(d3); 10 end; 11 procedure ext(z,x,y:longint);inline; 12 begin 13 a[z]:=((a[z]*b[z].a0) mod p+(b[z].a1*((y-x+1) mod p)) mod p) mod p; 14 b[z*2]:=merge(b[z*2],b[z]); 15 b[z*2+1]:=merge(b[z*2+1],b[z]); 16 b[z].a0:=1;b[z].a1:=0; 17 end;
此方法比较直观，比较好想，但是看样子好多标记其实被操作了
好了，现在看下时间对比：（注：此两个程序中除了cal函数不一样其他均一样）
方案一：
方案二：（这个里面方案一的cal函数是通过{}注释掉的，所以代码会多出来那么些）
空间上差不多（phile：这不显然的么呵呵呵），时间上方案一要快，原因其实还是因为方案一并没有涉及到修改标记的操作，而方案二涉及了，而且尤其对于tag很密集的树，操作更是会较为复杂。还有方案二虽然更加直观易想，但是代码其实并没有缩减，两者代码复杂度几乎一样。所以综合而言，方案一更加划算么么哒
下面附上BZOJ1798代码
1 /************************************************************** 2 Problem: 1798 3 User: HansBug 4 Language: Pascal 5 Result: Accepted 6 Time:22432 ms 7 Memory:31492 kb 8 ****************************************************************/ 9 10 type 11 vet=record 12 a0,a1:int64; 13 end; 14 var 15 i,j,k,l,m,n,a2,a3,a4:longint; 16 p:int64; 17 a,c:array[0..1000000] of int64; 18 b:array[0..1000000] of vet; 19 d,d1:vet; 20 procedure built(z,x,y:longint);inline; 21 begin 22 if x=y then 23 a[z]:=c[x] mod p 24 else 25 begin 26 built(z*2,x,(x+y) div 2); 27 built(z*2+1,(x+y) div 2+1,y); 28 a[z]:=(a[z*2]+a[z*2+1]) mod p; 29 end; 30 b[z].a0:=1;b[z].a1:=0; 31 end; 32 function max(x,y:longint):longint;inline; 33 begin 34 if x>y then max:=x else max:=y; 35 end; 36 function min(x,y:longint):longint;inline; 37 begin 38 if x<y then min:=x else min:=y; 39 end; 40 function merge(d1,d2:vet):vet;inline; 41 var d3:vet; 42 begin 43 d3:=d1; 44 d3.a0:=d3.a0 mod p;d3.a1:=d3.a1 mod p; 45 d2.a0:=d2.a0 mod p;d2.a1:=d2.a1 mod p; 46 d3.a0:=(d3.a0*d2.a0) mod p; 47 d3.a1:=((d3.a1*d2.a0) mod p+d2.a1) mod p; 48 exit(d3); 49 end; 50 procedure ext(z,x,y:longint);inline; 51 begin 52 a[z]:=((a[z]*b[z].a0) mod p+(b[z].a1*((y-x+1) mod p)) mod p) mod p; 53 b[z*2]:=merge(b[z*2],b[z]); 54 b[z*2+1]:=merge(b[z*2+1],b[z]); 55 b[z].a0:=1;b[z].a1:=0; 56 end; 57 function op(z,x,y,l,r:longint;d:vet):int64;inline; 58 var 59 a3,a4:int64; 60 begin 61 if l>r then exit(0); 62 ext(z,x,y); 63 if (x=l) and (y=r) then 64 begin 65 b[z]:=d; 66 exit(((a[z]*((b[z].a0-1) mod p)) mod p+(b[z].a1*((r-l+1) mod p)) mod p) mod p); 67 end 68 else 69 begin 70 a3:=op(z*2,x,(x+y) div 2,l,min(r,(x+y) div 2),d); 71 a4:=op(z*2+1,(x+y) div 2+1,y,max(l,(x+y) div 2+1),r,d); 72 a[z]:=(a[z]+(a3+a4) mod p) mod p; 73 exit((a3+a4) mod p); 74 end; 75 end; 76 {function cal(z,x,y,l,r:longint;d:vet):int64;inline; //方案一 77 var d1:vet; 78 begin 79 if l>r then exit(0); 80 d1:=merge(b[z],d); 81 if (x=l) and (y=r) then exit(((a[z]*d1.a0) mod p+(d1.a1*((r-l+1) mod p)) mod p) mod p); 82 exit((cal(z*2,x,(x+y) div 2,l,min((x+y) div 2,r),d1)+cal(z*2+1,(x+y) div 2+1,y,max((x+y) div 2+1,l),r,d1)) mod p); 83 end; } 84 function cal(z,x,y,l,r:longint):int64;inline; //方案二 85 begin 86 if l>r then exit(0); 87 ext(z,x,y); 88 if (x=l) and (y=r) then exit(a[z]); 89 exit((cal(z*2,x,(x+y) div 2,l,min((x+y) div 2,r))+cal(z*2+1,(x+y) div 2+1,y,max((x+y) div 2+1,l),r)) mod p); 90 end; 91 92 function modd(x:int64):int64;inline; 93 begin 94 if x>=0 then exit(x mod p); 95 modd:=((abs(x) div p+1)*p+x) mod p; 96 end; 97 98 begin 99 readln(n,p); 100 for i:=1 to n do read(c[i]); 101 readln; 102 built(1,1,n); 103 readln(m); 104 for i:=1 to m do 105 begin 106 read(j); 107 case j of 108 1:begin 109 readln(a2,a3,a4); 110 d.a0:=a4;d.a1:=0; 111 op(1,1,n,a2,a3,d); 112 end; 113 2:begin 114 readln(a2,a3,a4); 115 d.a0:=1;d.a1:=a4; 116 op(1,1,n,a2,a3,d); 117 end; 118 3:begin 119 readln(a2,a3); 120 writeln(modd(cal(1,1,n,a2,a3))); 121 end; 122 end; 123 end; 124 end.
