字符串小记
12.31：写了 50%，还有很多东西还在施工中，最近 p 事太多了，呜。
字符串小记
字符串题目准则
在 OI 领域，做题尽量使用难度较低的字符串算法，使用难度较高的算法可能适得其反。
SAM
一个一直想学却鸽子的东西，有无数的人讲了无数次，但是我才第一次真正了解它。
SAM 入门，前人之述备矣。
我一开始读的 OI-wiki，前面还行，但是最后算法构造那里晕乎乎的，不建议。
https://www.cnblogs.com/zaza-zt/p/15419181.html
https://www.luogu.com.cn/article/v6v0kfpa
这两我觉得都很好，我主要读的第一篇。
广义 SAM （多串 SAM）：
https://www.cnblogs.com/Xing-Ling/p/12038349.html
https://www.luogu.com/discuss/322224
广义 SAM 有多种写法，我采用 Bfs 的做法，优势是没有 corner，没有细节（就是套了个 trie）劣势是空间常熟偏大，不能在线加字符串。
几点共识：
后缀树是反串的 SAM 的 parent 树 （ link 树），所以并不用去学习后缀树算法。
在 99.99% 的题目中 SAM 的函数内部构成完全一样（广义 SAM 同理），所以不了解底层逻辑无伤大雅（比如复杂度证明之类的）
SAM 有用的性质（有很多，只列举我会的且常用的）
1.本质不同子串：\(\sum_i len_i-len_{fa_i}\)
1.广义 SAM 上每个模板串包含的节点数量和的上界以及构造
2.快速定位子串，求 区间 \([l,r]\)，在 SAM 上的对应状态：在构建 SAM 时容易预处理 \(s_{1,i}\) 所表示的状态 \(pos_i\)。从 \(pos_r\) 开始在 link 树上倍增找到最浅的，len 值 ≥r−l+1 的状态 p 即为所求。
3.两个子串的 LCS，定位子串之后的 link 树上的 LCA 的 len
SAM 例题：
https://www.cnblogs.com/Meatherm/p/18221137#广义-sam-部分
写得很详细很清楚，点赞。
总结一下就是 SAM 的用法大概是：
1.利用定义做题，例如等价类所对应的是一段区间，len 以及 endpos 大小之类的直接对应题目所求的东西，那么把 SAM 拿出来处理信息就好了。
2.利用自动机的特性做匹配问题，SAM 也是自动机，和 AC 自动机一样也是做字符串匹配的高手，
模板：https://www.luogu.com.cn/problem/SP1812
这类题大概就是在 SAM 走路，然后顺带维护点信息。
3.建立反串后缀树，刻画前缀信息，许多字符串题都与 LCP 有关，而 SAM 全在刻画后缀信息，反过来建立，这类题大多时候可以平替 SA。
https://www.luogu.com.cn/problem/P4248
4.多串结构，把一个串的问题套到多个串上，增加维度，使用广义 SAM 就好了，大多数时候的分析根一个串类似。
https://www.luogu.com.cn/problem/P3346
5.维护 endpos 集合，有些题目并不是只需要 endpos 集合大小，需要具体信息，利用 线段树合并 维护出每个节点的集合，然后在上面套数据结构查询。
https://www.luogu.com.cn/problem/CF1037H
6.DS 嵌套，大概是利用 SAM 的一些树上性质转化为 DS 语言，再嵌套上 DS。
例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P4482
把 border 转化成 SAM 语言就是找到一个最大的 \(l\le p <r\) 的 \(p\) 使得 \(p-lcs(p,r)<l\)，然后 lcs 的刻画上面有些，然后转树分治，细节不展开。
注意：一定要开两倍空间 ！！！
想做更多题可以去看老麦的课件，里面还是有很多好题的。
KMP
算是字符串的精髓了把。
算法流程：
维护当前前缀的最长 border，那么在字符串匹配的时候失配了直接跳 border，均摊复杂度正确。
应用题：https://www.luogu.com.cn/problem/P4696
重新定义 KMP 的相等，考虑 KMP 匹配过程，要维护数之间的相对顺序，那么每次新匹配一个数的时只需要满足一个串的偏序（大小）关系在另一个串里也适用即可，维护下标在它之前的，它的前驱下标和后继下标。若新插入的值大于前驱对应的值小于后继的值那么两个串就相等。
持久化：https://codeforces.com/problemset/problem/1721/E
维护单串 ACAM 就好了。
Border Theory
周期引理：
对于字符串 \(s\)，\(p,q\) 为 \(s\) 的周期，\(p+q-\gcd(p,q)\le |s|\)，则 \(\gcd(p,q)\) 也是 \(s\) 的周期。
有事去掉左部分的 \(\gcd(p,q)\) 更易于证明一些性质。
将所有 Border 按其二进制最高位进行分段，每一段内的 Border 都构成一个等差数列，也就是至多划分为 \(\log |S|\) 个等差数列。
由于等差数列是一段连续的 border，暴力跳即可找到所有等差数列。
证明：https://www.cnblogs.com/y-dove/p/14514097.html
用法：
1.找到 log 个等差数列然后辅助数据结构转移
https://www.luogu.com.cn/problem/P1393 减去算重的贡献前缀差分就好了。
练习：https://www.luogu.com.cn/problem/P4156
2.利用周期的性质加速加速跳 border
https://www.luogu.com.cn/problem/P5287
考虑暴力跳 kmp 的 border 是均摊的，导致带撤销复杂度假了。
考虑利用周期的性质，显然对于周期 \(d\)，周期 \(2d\)，…… \(kd\)，根据周期引理，对于所有小于 \(n-d\) 的周期都是 \(d\) 的倍数，所以跳 border 的时候只用检查 \(d,2d\) （其他周期的下一个位置都和 \(2d\) 一样，然后直接跳到 \(kd\) 转移就好了）。
ACAM
即多串 KMP，在 trie 树上维护 fail 树，是做匹配的一把好手。
用法：
1.fail 树上乱跳，统计贡献，有若干模板题，不再一一列举了。
练习：SCOI2024d1t1（缺数据），ACAM 综合应用。
2.根号分治，我感觉是 ACAM 用得最多的地方，由于输入量有限，串总长度和一定，自然可以根号分治。
例题：https://www.luogu.com.cn/problem/P8571
做法大概就是憋两种本质不同的做法，合并一下就好了。
长串一般就是暴力做，配个数据结构快速查询。
短串一般就是建个虚树，在上面分析一下就好了。
这种题一般还是代码难度更大。
练习题：https://www.luogu.com.cn/problem/P8203，这种题最后难度应该也不在 ACAM 上。
吃屎题：https://www.luogu.com.cn/problem/P9997 有兴趣可以写。
匹配相关杂项
众所周知，我是懒人，不想写打字符串结构怎么办。
匹配相关有两个有趣的套路。
bitset
大概思路就是你优化一个一个匹配的过程，开个 bitset 维护所有合法 endpos，每次遇到一个新的字符就暴力 and 一下，可以配合代码理解。
https://www.luogu.com.cn/problem/CF914F
FFT
有些带通配符的匹配时候，设计一个合理的相等函数。
https://www.luogu.com.cn/problem/P4173
扩展题：https://www.luogu.com.cn/problem/CF827E，还需要一些周期相关的性质。
哈希
核心思想就是将一个很长很大的东西映射到一个数上做比较。
自然溢出是好文化，但是有些人就喜欢卡。
原理：https://www.cnblogs.com/tzcwk/p/hash-ull-hack.html
二维哈希：记得不同维度使用不同的 base，不然容易挂，测试：https://www.luogu.com.cn/problem/UVA11019
练习题：https://www.luogu.com.cn/problem/CF1968G2
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着急学习的可以看老麦博客。
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