连通性容斥

合集 - 学术(4)

1.广义李超线段树2023-09-222.如何优雅地使用 pb_ds2023-10-26

3.连通性容斥2023-12-04

4.线段树各类应用总结2023-10-30

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一种比较牛的东西，典型标志为 $n \le 18$，计数满足特殊性质而且连通的状物。

[ARC105F]

有一张 $n$ 个点 $m$ 条边的简单无向图，问选出一个边集，使得 $n$ 个点与这些边构成的图连通，并且图是二分图的方案数。

$1\leq n\leq 17,n-1\leq m\leq \frac{n(n-1)}{2}$。

通用套路是先不理连通算方案数，设 $h_S$ 表示有多少条边两端点都在集合 $S$ 中。

一个图是二分图的充要条件是恰好能将图黑白染色，那我们枚举集合中为黑色的子集，设 $g_S$ 为图是二分图的方案数。

那么有 $g_S= \displaystyle\sum_{t \subseteq S} 2^{h_S-h_T-h_{S \bigoplus T}}$ 即黑白两色内部不能染色。

接下来剪掉不连通的，这个就是连通性容斥套路，设 $f_S$ 为最终集合的答案。

我们钦定一个集合 $S$ 中的最小点为连通块的根，（任意的点都可以，只是最小的点用 $lowbit$ 方便计算）。

我们枚举当前这个最小点当前所在连通块集合 $T$，那么它对当 $S$ 的贡献要减去 $f_T \times g_{T \bigoplus S}$ 即当前连通块答案乘上不在当前块中任意算边的方案。

所以 $f_S=g_S -\displaystyle\sum_{T \subset S \or lowbit(T)=lowbit(S)} f_T \times g_{T\bigoplus S}$

复杂度 $O(3^n)$

[ABC321G]

有 $n$ 个点，给定两个长度为 $m$ 的序列 $a_i,b_i$。

对于一个 $1\sim m$ 的排列 $P$，将 $a_i$ 与 $b_{P_i}$ 连边后，其权值定义为这 $n$ 个点 $m$ 条边所构成的图的连通块个数。

对于所有 $m!$ 个排列 $P$，求它们权值的期望值。

$1 \le n \le 17,1\ \le m \le 10^5$

典中典之先期望转计数。

还是先啥都不管设 $ha_S,hb_S$ 分别表示 $S$ 的子集中有出现了多少 $a_i,b_i$，设 $h_S$ 表示只在集合 $S$ 互相连边的方案数。

显然有 $h_S=[ha_S=hb_S] ha_S !$，然后使用连通性容斥设 $g_S$ 表示使得集合 $S$ 连通的方案数。

和上题类似，$g_S=h_S-\displaystyle\sum_{T \subset S \or lowbit(T)=lobit(S)}g_T \times h_{T \bigoplus S}$

接下来设 $f_S$ 表示集合 $S$ 所有方案连通块数量之和，仍然需要枚举有集合最小值的子集 $T$ 作为最后一块加入集合（不钦定要算重）

那么也就有 $f_S= \displaystyle\sum_{T \subset S \or lowbit(T)=lowbit(S)} g_j \times f_{T \bigoplus S}+g_j \times h_{T\bigoplus S}$

前后两部分分别代表新加入的连通块对方案数和连通块数量的贡献。

复杂度 $O(3^n)$

这种题目需要注意的是枚举子集是否空集以及全集，需要画图慢慢理解一下。

Upd：这种题通过一些神妙的数学手段也许能变得更优，等实力变强了再来补。