关于如何排序使得最终的答案最优的总结

关于如何排序使得最终的答案最优的总结

例题

  1. Luogu P1012
  2. CF2024C

分析

就以先 CF2024C 来展开,题意是给定 N 个二元组,确定一个可行的排列使得最后的序列逆序对个数最少,注意二元组内部不可以交换顺序

Solution1

详情见 “CF980 Review” 中对这道题的解法,这里不多赘述了。

只是观察这种解法这道题有什么性质:
首先,我们定义的 AB 更优,A 应该放在前面,是指 A 中的较大元素比 B 中的较大元素更小,或者说两者的较大值相等,但是前者的较小值更小。

按照我们的方法来交换相邻元素一定不会让答案变得更劣

不难观察到 如果 AB 优,且 BC 优,那么一定能够得出 AC

Code

Solution2

官方题解给出了一种更加简洁而且非常容易猜到的排序方式,虽然思维上面还是小有难度,但事实上看来赛时很多人都通过了这道题,这也印证了 oi 比赛不需要严格的证明,如果你猜的结论是正确的,那么就大胆地去应用,错了反正还可以再来,只是要罚时而已 (仅限非oi赛制)

我们只需要按照 A 这个二元组中两个元素的和把这个二元组序列升序排列就好。

证明可以通过分类讨论的方式来实现,

如果说 A 的和大于 B 的和,那么要么 A 的两个值被夹在 B 的中间,要么 A 两个值 都比 B 的大。

在这两种情况下,我们交换 AB 一定至少不会使得答案变得更差

而且,二元组内部的和的大小,如果 AB 优,BC 优,就一定有 AC

Code

Hack1

那么你会问 ,我为什么不能对于相邻的两个元素,直接比较他们交换位置前后的逆序对数量来定义他们的 优劣 呢?

而且好像似乎也满足 如果 AB 优,BC 优,就一定有 AC 的性质。

那我们再仔细思考一下,以上两种解法,我们实际上并没有考虑 A=B 的情况,因为我们认定他们无论是否交换,对答案是不会存在影响的。

​ 在解法 1 中,A=B 则意味着两个二元组完全相等,所以显然没有影响。

​ 在解法 2 中,A=B 则意味着两个二元组要么是相同,要么是完全包含,可以证明如果有 B>C 或者 B=C ,就一定有 AC

但是在这种解法中,如果 A=B,B=C ,就不一定有 A=C 成立,一组hack数据如下。

4 7 ,2 9,7 3

Data generator
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int check(int x,int y,int i,int j)
{
return (x>i)+(x>j)+(y>i)+(y>j);
}
int main()
{
int T=300;
while(T--)
{
int x=rand()%10+1,y=rand()%10+1,i=rand()%10+1,j=rand()%10+1,n=rand()%10+1,m=rand()%10+1;
int ans1=check(x,y,i,j),ans2=check(i,j,x,y);
if(ans1>ans2)swap(x,i),swap(y,j);
ans1=check(i,j,n,m),ans2=check(n,m,i,j);
if(ans1>ans2)continue;
if(!(check(x,y,n,m)<=check(n,m,x,y)))
printf("%d %d %d %d %d %d\n",x,y,i,j,n,m);
}
return 0;
}

总结

解决这类问题的三个要素:

  1. 我们定义的交换相邻元素的方法不会使得答案变得更劣
  2. 我们定义的优劣比较具有传递性,更形式化地说,如果 AB,BC ,那么必须有 AC
  3. 务必要考虑等号的情况。

(注:上文的 “>” 代表 "前者比后者优")

posted @   Hanggoash  阅读(16)  评论(1编辑  收藏  举报
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