P11030 『DABOI Round 1』Blessings Repeated题解

P11030 『DABOI Round 1』Blessings Repeated题解

【形式化题意】

给定一个正整数 $k$ 和两个字符串 $S,T$。

设字符串 $s$ 为 $k$ 个字符串 $S$ 首尾相接得到的字符串，$n=|s|,m=|T|$。

设答案集合 $P=\{(i_0,i_1,\dots ,i_{m-1})\mid 0\le i_0<i_1<\cdots <i_{m-1}<n,\mathrm{\forall }0\le j<m,s_{i_j}=T_j\}$，请求出 $|P|mod998244353$。

输入格式

输入共 $3$ 行。

第 $1$ 行 $1$ 个整数，表示 $k$。

第 $2$ 行 $1$ 个字符串，表示 $S$。

第 $3$ 行 $1$ 个字符串，表示 $T$。

输出格式

输出共 $1$ 行 $1$ 个整数，表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

2
stocyhorz
cyh

样例输出 #1

4

样例 #2

样例输入 #2

4
c
ccc

样例输出 #2

4

提示

【样例 1 解释】

将 $S$ 重复 $2$ 次得到 $\mathtt{\text{stocyhorzstocyhorz}}$。

答案集合 $P=\{(3,4,5),(3,4,14),(3,13,14),(12,13,14)\}$，因此 $|P|=4$。

---

【数据范围】

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$0<k\le {10}^{18}$，$0<|S|\le 5\times {10}^3$，$0<|T|\le 10$，字符串 $S,T$ 均由小写英文字母组成。

$\text{Point}$	$k\le$	$|S|\le$	$|T|\le$
$1\sim 2$	${10}^{18}$	$5\times {10}^3$	$1$
$3$	$1$	$5\times {10}^3$	$2$
$4\sim 5$	$100$	$5\times {10}^3$	$2$
$6\sim 7$	$1$	$50$	$4$
$8\sim 10$	$10$	$5\times {10}^3$	$10$
$11\sim 20$	${10}^{18}$	$5\times {10}^3$	$10$

赛时想法

想到了做一个 $dp$ ，但是一上来就把阶段丢掉了，导致把自己绕晕了，大概想的是定义 $dp[i]$ 为：如果 $S$ 的当前位置位在 $T$ 中，那么选完了这一位以后对应的方案数 ，$i$ 代表 $T$ 中对应的第 $i$ 个字符。转移的时候就统计前缀和就行，但这样的想法很容易被 $hack$ 掉，还是我太菜了，很显然的一个例子是 $T=aaa$ ，当我们枚举到 $S$ 中某位是 $a$ 时，$dp[2]$ 会从 $dp[1]$ 进行转移，因此会多统计出来一部分。

正解

重新定义 $dp[i][j]$ 为考虑完 $S$ 中前 $i$ 个后，选完 $T$ 串中第 $j$ 个位置的方案数，那么转移方程也十分的明显了。

$$dp[i][j]=\{\begin{array}{ll}dp[i-1][j],& S[i]!=T[j]\\ dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1],& S[i]==T[j]\end{array}$$

发现 $k$ 的数据范围尤其的大，基本上要么就是推数学结论，要么就是矩阵加速递推，现在 $dp$ 都写出来了，这下不得不递推了。

核心思想

和普通的矩阵加速不同（很大可能是我刷的题太少了），本题的 $dp$ 是带条件的，也就是说，在某一个循环内枚举的时候，有可能会有很多个不同的转移矩阵。

但最重要的地方在于，这些转移矩阵的出现是有规律的，如$(A_1\cdot A_2\cdot ...\cdot A_n)\cdot ...\cdot (A_1\cdot A_2\cdot ...\cdot A_n)$ 一共有 $k$ 个这样的循环，那么我们记每一个循环根据结合律得出的转移矩阵是 $Sup$ ，总的转移矩阵就是 $Su{p}^k$ 。

最后在初始 $dp$ 矩阵右乘上一个 $Su{p}^k$ 就好了。

容易犯错的地方

注意 $dp[0]$ 的初值应该赋为 $1$ ，不然答案为 $0$ 了。

然后还有就是，由于每一个循环节内的子转移矩阵是不同的，所以累乘的方式应该根据 $dp$ 是左乘还是右乘转移矩阵有所变化，比如下面给出的代码是左乘转移矩阵，那么在预处理的时候也应该从左边乘进来，类似于一个栈的结构。

↓ShowCode↓

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=20;
struct Matrix
{
	int n,m;
	int a[N][N];
	Matrix()
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	void reset()
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
	}
	void print()
	{
		for(int i=0;i<=n;++i)
		{
			for(int j=0;j<=m;++j)
				printf("%lld ",a[i][j]);
			putchar('\n');
		}
	}
};
Matrix I(int n)
{
	Matrix tmp;
	tmp.n=tmp.m=n;
	for(register int i=0;i<=n;++i)tmp.a[i][i]=1;
	return tmp;
}
const int MOD=998244353;
Matrix operator *(Matrix a,Matrix b)
{
	Matrix tmp;
	tmp.n=a.n,tmp.m=b.m;
	for(register int i=0;i<=a.n;++i)
		for(register int j=0;j<=b.m;j++)
			for(register int k=0;k<=a.m;++k)
				tmp.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%MOD,tmp.a[i][j]%=MOD;					
	return tmp; 
}
inline Matrix power(Matrix a,int b)
{
	Matrix ans=I(a.n);
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int k,n;
char s[50000],t[100];
Matrix Ans,sup;
vector<int> rec[200];
inline void pre()
{
	cin>>k;
	cin>>s>>t;
	n=strlen(t);
	for(int i=0;i<n;++i)rec[t[i]].push_back(i+1);
	sup=I(n);
	Matrix tmp; 
	for(register int i=0;i<strlen(s);++i)
	{
		tmp=I(n);
		for(int j=0;j<rec[s[i]].size();++j)
		{
			int pos=rec[s[i]][j];
			tmp.a[pos][pos-1]=1;
		}
		sup=tmp*sup;
	}
	Ans.n=n,Ans.m=1,Ans.a[0][1]=1;
}
signed main()
{
	pre();
	Ans=power(sup,k)*Ans;
	cout<<Ans.a[n][1];
	return 0;
 }