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整数二分

边界条件处理不好非常容易写挂
以简单的二分查找为例，有以下两种写法

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int bsearch(int x,int l,int r){	if(l>=r)return l;	int mid=l+r>>1;	if(a[mid]<x)return bsearch(x,mid+1,r);	else return bsearch(x,l,mid);}

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int bsearch(int x,int l,int r){	if(l>=r)return l;	int mid=(l+r+1)>>1;	if(a[mid]<=x)return bsearch(x,mid,r);	else return bsearch(x,l,mid-1);}

简单来说，首先需要知道计算 $mid$ 的时候是下取整的。
判断条件中取等号的那个需要保留 $mid$ ，因此这时 $mid=(l+r+1)>>1$ ，防止当查询右子区间长度为 $1$ 的时候造成死循环，例如 $[2,3]$。

如果需要取等的一边在左子区间，那就不需要 ，因为会被下取整，不取等号不需要保留，所以直接 $+-1$ 。

快速幂

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inline int power(int a,int b,int p){	long long ans=1;	while(b)	{		if(b&1)ans=ans*a%p;		a=a*a%p;		b>>=1;	}	return ans;}

线段树

1

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#include<bits/stdc++.h>using namespace std;template<typename T>inline void re(T &x){	x=0;	int f=1;char c=getchar();	while(!isdigit(c))	{		if(c=='-')f=-1;		c=getchar();	}	while(isdigit(c))	{		x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);		c=getchar();	}	x*=f;}template<typename T>inline void wr(T x){	if(x<0)putchar('-'),x=-x;	if(x>9)wr(x/10);	putchar(x%10^48);}const int N=1e6+1;struct SGT{	int l,r;	long long val,tag;}tr[N<<2];int a[N],n,m,x,y,k,opt;long long calc(int x){	return tr[x].val+(tr[x].r-tr[x].l+1)*tr[x].tag;}void pd(int x){	tr[x<<1].tag+=tr[x].tag,	tr[x<<1|1].tag+=tr[x].tag;	tr[x].tag=0;}void pu(int x){	tr[x].val=calc(x<<1)+calc(x<<1|1);}inline void build(int x,int l,int r){	tr[x].l=l,tr[x].r=r;	if(l==r)	{		tr[x].val=a[l];return;	}	int mid=l+r>>1;	build(x<<1,l,mid),build(x<<1|1,mid+1,r);	pu(x);}inline void modify(int x,int l,int r,int v){	if(l<=tr[x].l&&tr[x].r<=r)	{		tr[x].tag+=v;		return;	}	pd(x);	int mid=tr[x].l+tr[x].r>>1;	if(l<=mid)modify(x<<1,l,r,v);	if(r>mid)modify(x<<1|1,l,r,v);	pu(x);}inline long long query(int x,int l,int r){	if(l<=tr[x].l&&tr[x].r<=r)return calc(x);	pd(x);	int mid=tr[x].l+tr[x].r>>1;	long long ans=0;	if(l<=mid)ans+=query(x<<1,l,r);	if(r>mid)ans+=query(x<<1|1,l,r);	pu(x);	return ans;}void pre(){	re(n),re(m);	for(int i=1;i<=n;i++)re(a[i]);	build(1,1,n);}int main(){	pre();	while(m--)	{		re(opt);		if(opt==1)		{			re(x),re(y),re(k);			modify(1,x,y,k);		}		else		{			re(x),re(y);			wr(query(1,x,y)),putchar('\n');		}	}	return 0;}

矩阵快速幂

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struct Matrix{	int n,m;	int a[maxn][maxn];	Matrix(){memset(a,0,sizeof a);}};Matrix operator *(Matrix a,Matrix b){	Matrix tmp;	tmp.n=a.n,tmp.m=b.m;	for(int i=1;i<=a.n;++i)	{		for(int j=1;j<=b.m;++j)		{			for(int k=1;k<=a.m;++k)			{				tmp.a[i][j]=(tmp.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%MOD;			}		}	}	return tmp;}Matrix base(int x){	Matrix tmp;	tmp.n=tmp.m=x;	for(int i=1;i<=x;++i)tmp.a[i][i]=1;	return tmp;}Matrix power(Matrix a,int b){	Matrix ans=base(a.n);	while(b)	{		if(b&1)ans=ans*a;		a=a*a;		b>>=1;	}	return ans;}

LCA

倍增

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#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=5e5+2;int F[N][22],dep[N];int n,m,s;vector<int> E[N];inline void dfs(int x){	for(int i=0;i<E[x].size();i++)	{		int v=E[x][i];		if(v==F[x][0])continue;		F[v][0]=x,dep[v]=dep[x]+1;		dfs(v); 	}}void pre(){	cin>>n>>m>>s;	int u,v;	for(int i=1;i<=n-1;i++)	{		cin>>u>>v;		E[u].push_back(v),E[v].push_back(u);	}	dep[s]=1,dfs(s);	for(int j=1;j<=20;j++)		for(int i=1;i<=n;i++)			F[i][j]=F[F[i][j-1]][j-1]; }inline int lca(int x,int y){	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);	for(int i=20;i>=0;i--)		if(dep[F[x][i]]>=dep[y])x=F[x][i];	if(x==y)return x;	for(int i=20;i>=0;i--)		if(F[x][i]!=F[y][i])x=F[x][i],y=F[y][i];	return F[x][0];}int main(){	pre();	int u,v;	while(m--)	{		cin>>u>>v;		cout<<lca(u,v)<<endl;	}	return 0;}

树链剖分

最短路

Dijkstra

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inline void dijkstra(int s){	priority_queue< pair<int,int> > q;	memset(dis,0x3f,sizeof dis);	memset(vis,0,sizeof vis);	dis[s]=0,q.push(make_pair(0,s));	while(q.size())	{		int x=q.top().second;q.pop();		if(vis[x])continue;		vis[x]=1;		for(int i=head[x];i;i=E[i].nex)		{			int v=E[i].v;			if(dis[v]>dis[x]+E[i].w)			{				dis[v]=dis[x]+E[i].w;				if(!vis[v])q.push(make_pair(-dis[v],v));			}		}	}}

可以用堆进行优化，默认大根堆，直接push(-dis[v],v)就好了
DJ的本质就是贪心，$vis$ 数组代表有没有被松弛过，每个点只会被松弛一次就能算出正确值。

SPFA

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inline void spfa(int x){	queue<int>q;	memset(dis,0x7f,sizeof dis);	memset(vis,0,sizeof vis);		q.push(x);vis[x]=1;dis[x]=0;	while(!q.empty())	{		int x=q.front();vis[x]=0,q.pop();		for(int i=head[x];i;i=E[i].nex)		{			int v=E[i].v;			if(dis[x]+E[i].w<dis[v])			{				dis[v]=dis[x]+E[i].w;				if(!vis[x])q.push(v),vis[v]=1;			}		} 	}}

注意spfa的vis数组代表是否在队列中，可以经过多次修改；而dij的vis数组代表是否松弛过，只会被修改一次