P7868 VUDU 题解

P7868 VUDU 题解

提供一种不需要使用离散化，从$0/1$分数规划的角度推导的思路。然而考试的时候没想到求逆序对挂掉了

分析

题意很清楚了，就是求给出的序列中，对于一段任意长度的连续区间，其元素和的平均数大于等于$p$的种数，可以用如下式子来表达：

$$\frac{\sum _{i=l}^{r}a[i]}{r-l+1}\ge p$$

推导方法1

当时写出来这个式子，我一眼$0/1$分数规划，$WhichIsKnownAs$

$$\frac{\sum _{i=l}^{r}a[i]\ast x[i]}{\sum _{i=l}^{r}b[i]\ast x[i]}\ge mid$$

但是这道题只能选连续的一段，所以$x[i]$就不存在了

当然如果你不知道$0/1$分数规划，也完全没有关系，往下看就是了。

我们把第一个式子里面的$r-l+1$想办法变成第二个式子里面的$b[i]$，通过对比很容易发现，我们假设所有的$b[i]=1$,那么就有：

$$\frac{\sum _{i=l}^{r}a[i]}{r-l+1}\ge p⟺\frac{\sum _{i=l}^{r}a[i]}{\sum _{i=l}^{r}b[i]}\ge p⟺\sum _{i=l}^{r}a[i]-p\times \sum _{i=l}^{r}b[i]\ge 0⟺\sum _{i=l}^r(a[i]-p\times b[i])\ge 0$$

不要忘了其中$b[i]=1$，于是上面的式子就最终变成了$\sum _{i=l}^r(a[i]-p)\ge 0$

其中$a[i],p$都是定值，于是我们记$v[i]=a[i]-p$，最终我们就把题意变成了从$v[i]$中，选出子段和大于等于$0$的方案数

推导方法2

如果您认为上面太麻烦了，那么下面的应该更容易理解了，先回到原来的式子：

$$\frac{\sum _{i=l}^{r}a[i]}{r-l+1}\ge p$$

同样的化化简，移移项:

$$\frac{\sum _{i=l}^{r}a[i]}{r-l+1}\ge p⟺\sum _{i=l}^{r}a[i]-(r-l+1)\times p\ge 0$$

如何感性理解上式？

注意到有$r-l+1$个$a[i]$在求和，还要减去$r-l+1$个$p$，即判断$k$个数减去$k$个$p$之后的值，是否非负。

那么我们把每个$p$均摊到每一个$a[i]$上面，就有了我们用第一种方法推导出的：$\sum _{i=l}^r(a[i]-p)\ge 0$了

引入前缀和

问题来到了如何快速求一段区间和？我们自然地想到了前缀和，用$sum[r]-sum[l-1]$快速地求出区间和

我们发现对于每一个$1\le l\le r\le n$，只要满足$sum[r]-sum[l-1]\ge 0$，即$[l,r]$中元素和大于等于$0$，就一定能对答案产生$1$的贡献。

这里随便口胡一个$sum$序列：$0,-1,-3,-6,2,3,1,5$，比如其中$-1,3$就可以构成一个答案，表示$[2,5]$的区间和为$3-(-1)=4$

顺序对、逆序对

手玩几组样例就会发现，我们求的其实就是其中顺序对的数量，特别地对于$l=1$的情况，$sum[l-1]=sum[0]=0$，我们也是需要考虑的,它的实际意义就是$[1,r]$的区间和。

然后我们再倒过来思考一下，就把顺序对转化成了逆序对。

假设我们把前缀和数组倒过来之后，更具体地说：$l\le r,sum[l]\ge sum[r]$就是本题中一个符合条件的情况

小细节

注意要开$longlong$

Code

↓ShowCode↓

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define int long long
using namespace std;
template <typename T>inline void re(T &x) 
{
	x=0;int f=1;
	char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-f;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
	x*=f;
}
const int maxn=1e6+100;
int n,a[maxn],sum[maxn],p,rec[maxn],ans[maxn];
long long answer;
void merge(int l,int r)
{
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	int i=l,j=mid+1,cnt=l-1;
	merge(l,mid);merge(mid+1,r);
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(rec[i]<rec[j])ans[++cnt]=rec[i++];//这个地方一定是<不能是<=
		else ans[++cnt]=rec[j++],answer+=mid-i+1;
	}
	while(i<=mid)
		ans[++cnt]=rec[i++];
	while(j<=r)
		ans[++cnt]=rec[j++];
	for(int i=l;i<=r;i++)rec[i]=ans[i];
}
signed main()
{
	re(n);
	for(register int i=1;i<=n;++i)re(a[i]);
	re(p);
	for(register int i=1;i<=n;++i)a[i]-=p,sum[i]=sum[i-1]+a[i],rec[n-i+1]=sum[i];
	rec[n+1]=sum[0];
	merge(1,n+1);
	printf("%lld",answer);
	return 0;
}
/*
8
3 2 1 7 4 5 6 3
4
 
22
*/