浅谈推矩阵加速推矩阵的方法

为什么要写这种不值得一提的东西

因为我太弱了

从最简单的斐波那契数列开始

第一步 确定递推

我们肯定是要先找到递推公式的，比如这个就是\(f[i]=f[i-1]+f[i-2]\)

第二步，写出当前矩阵和目标矩阵

采用宋氏矩阵分析法，我们写出所有的元素:

\[\begin{bmatrix} f[i-1]\\ f[i-2]\\ \end{bmatrix} \rightarrow (我们把每一个可以递推的元素下标+1得到目标) \begin{bmatrix} f[i]\\ f[i-1]\\ \end{bmatrix} \]

第三步 确定转移矩阵的长宽

值得肯定的是，我们要构造的矩阵肯定是\(2\times 2\)的，毫无疑问

第四步 将转移矩阵中的一行拿出来与现有矩阵按位对比

对于没有出现在原始矩阵内的项（第一行）

我们一定是要利用到递推公式的，那么转移矩阵的系数一定与递推系数对应：\(1,1\)

对于原本就有的项（其他行）

我们通过操作\(0,1\)的存在就可以直接得到

实操

对于斐波那契数列数列写出的转移矩阵如下

\[\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&0\\ \end{bmatrix} \]

你已经很好的掌握了构造矩阵了，再做一点基础巩固练吧！

求\(f_n=a\times f_{n-1}+b\times f_{n-2}+c\times f_{n-3}+d\)的转移矩阵

掌握了这个应该差不多能做大多数不太难的矩阵加速了

首先按照我们分析的步骤来，已经有递推了，那我们就先写出所有元素

\[\begin{bmatrix} f_{n-1}\\ f_{n-2}\\ f_{n-3}\\ d\\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} f_{n}\\ f_{n-1}\\ f_{n-2}\\ d\\ \end{bmatrix} \]

然后我们写出的转移矩阵肯定是\(4\times 4\)的对吧

最后再逐行分析

第一行显而易见：\([a,b,c,1]\)

后面的也比较容易了，最后得到的就是这个:

\[\begin{bmatrix} a&b&c&1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \]

最后再来一点矩阵快速幂就好了，记得一定要初始化矩阵哦，这里为了练习一下，就手写一下代码，出锅了不要骂呜呜呜

点击查看代码

struct Matrix{int n,m,a[maxn][maxn];Matrix(){memset(a,0,sizeof a);};}
Matrix operator*(Matrix a.Matrix b)
{
	Matrix tmp;tmp.n=a.n,tmp.m=b.m;
	for(int i=1;i<=a.n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=b.m;j++)
		{
			int c=0;
			for(int k=1;k<=a.m;k++)c+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
			tmp.a[i][j]=c;
				
		}
		
	}
	return tmp;
}
Matrix base(int n)
{
	Matrix tmp;tmp.n=tmp.m=n;
	for(int i=1;i<=n;i++)tmp.a[i][i]=1;
	return tmp;
}
Matrix Mpower(Matrix a,int b)
{
	Matrix ans=base(a.n);
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

当然可能也不止这一种情况

比如说推出的DP转移是这样的：\(f[i][j]=\sum_{k=1}^nf[i-1][k]\times g[k][j]\)
容易发现这个转移方程酷似矩阵乘法，那么这个转移实际上是我们上述提到的情况的推广，因为显然，对于某个给定的 \(j\) ,转移方程里面各项的系数都是确定的，所以矩阵构造如下：（以 \(n=4\) 为例）

\[\begin{bmatrix} f[1][1]&f[1][2]&f[1][3]&f[1][4]\\ \end{bmatrix} \]

\[\begin{bmatrix} g[1][1]&...&...&g[1][4]\\ g[2][1]&...&...&g[2][4]\\ g[3][1]&...&...&g[3][4]\\ g[4][1]&...&...&g[4][4]\\ \end{bmatrix} \]