NOI2013 矩阵游戏

NOI2013 D1T1矩阵游戏 题解

题意

给定a,b,c,d和一个N$\times$M的矩阵，其中$f[1][1]=1,f[i][j]=af[i][j-1]+b$
除了第一行以外，$f[i][1]=c\times f[i-1][m]+d$
求$f[n][m]$的值 a,b,c,d<${10}^9$ n,m<${10}^{1000000}$

思路

不太熟悉矩阵乘法，但看到一递推式，我死去的关于数列的记忆就开始攻击我，所以可以考虑通过推式子来做这道题

具体实现

引入

首先回忆汉诺塔问题中$a_n=2\times a_{n-1}+1$，通过在等式两边各加$1$,我们可以得到$\frac{a_n+1}{a_{n-1}+1}=2$
从而构造出了公比为$2$的等比数列{$\frac{a_n+1}{a_{n-1}+1}$},首项$a_1+1=2$
再简单的化简一下就可以得到$a_n=2^n-1$
那么如何推广到这道题上面来呢？

解决办法

第一步

我们考虑递推式为$f_m=a\times f_{m-1}+b$的一个数列如何推导通项公式：
利用待定系数设原式为$f_m+\lambda =a\times (f_{m-1}+\lambda )$,再拆开得到$f_m=a\times f_{m-1}+\lambda \times (a-1)$
对比上下两个式子不难得到$$b=\lambda \times (a-1)⟺\lambda =\frac{b}{a-1}$$
同时我们注意到$a=1$的时候是没有意义的，所以还要单独讨论。
然后就能得出$f_m=(f_1+\lambda )\times a^{m-1}-\lambda$辣

第二步

考虑行与行之间的关系$f[i][1]=c\times f[i-1][m]$,其中$f[i-1][m]$我们已经解出，那么带入可得

$$f[i][1]=c\times [a^{m-1}\times (f[i-1][1]+\lambda )-\lambda ]+d$$

看到这种形式熟悉吗，没错，只不过是第一步中推导多了一大坨一点点而已，那么我们如法炮制最终可以得到

$$f[n][1]=(c\times a^{m-1}{)}^{n-1}\times f[1][1]+(c\times a^{m-1}{)}^{n-1}\times \alpha -\theta$$

$$\theta =\frac{c\times a^{m-1}\times \lambda -c\times \lambda +d}{c\times a^{m-1}-1}$$

聪明的你可能已经发现了，$a=1$的时候$c$是不能为$1$的这也是一种需要讨论的情况
这时候要得到$f[n][m]$我们只需要再借用一次第一步中的公式，$\mathrm{令}TmpAns=f[n][1]$
那么$f[n][m]=(TmpAns+\lambda )\times a^{m-1}-\lambda$
$⟶f[n][m]=f[1][1]\times a^{n(m-1)}+a^{n(m-1)}{c}^{n-1}\theta +a^{m-1}(\lambda -\theta )-\lambda$

收尾

讨论$a$、$c$各自的取值范围

关于数据范围

$n$、$m$的范围大到连__int128也无能为力了，怎么办呢？快去西天请欧拉佛祖
这时候就要用到拓展欧拉定理一边读入一边取模了

$$a^n\equiv a^{n\mathrm{mod}\varphi (p)}(\mathrm{mod}p)$$

小细节

涉及到的除法都要使用逆元，用费马小和拓展欧几里得算都行

第一次用LaTeX，写了两个多小时，看来是太菜了