[68] (NOIP集训) NOIP2024 加赛 5
恐将成为我改题时间最长的一场（也是分最低的一场）
码长断崖式领先了
首先你肯定要让小于（等于）中位数的数变小，将较大的值变小是毫无意义的，因为即使你完全不管他们，也不会对答案造成任何影响，白白浪费费用
可以考虑二分答案枚举中位数是啥，然后尝试将前半段每个数都除到中位数以下，计算最小花费
可以注意到的是，如果一个数 \(a_i\) 除以 \(x\) 能到达中位数以下，那么 \(\ge x\) 的数都能做到，这告诉我们两点：一是可以二分答案求解这个 \(x\)，二是我们应该在所有这些合法的里面取一个费用最小值，对费用做后缀 \(\min\) 即可
然后由整除分块经典结论，\(\lfloor{\frac{\lfloor{\frac{a}{b}}\rfloor}{c}}\rfloor=\lfloor{\frac{a}{bc}}\rfloor\)，因此有可能提供的这个花费并不是最优花费，比如如果 \(cost_6\gt cost_2+cost_3\)，这时用 \(6\) 就不如用 \(2\) 和 \(3\)，因此考虑分解其质因数，用质因数花费之和来更新当前值的花费
需要注意的是值域并不只到 \(V\)，一个 hack 是 \(V\) 很小，\(a_i\) 很大，值域开小了可能出现超过二分上界的问题（即一个数需要被除很多次）
按照线段树分治的思路直接做
这道题的难点在找到操作会影响哪些区间，上个结论
操作影响的区间一定形如若干连续段，且连续段不超过 \(\log\) 个
证明：考虑拆位，操作 \(s\) 满足 \(s\operatorname{xor}x\lt K\)，当且仅当存在某一位 \(i\)，使得对于任意更高位 \(j\)，\(s_j\operatorname{xor}x_j=K_j\)，且 \(s_i\operatorname{xor}x_i=1,K_i=0\)
如果我们对询问建一颗 Trie 树，符合要求的询问一定对应 Trie 上某个子树，如果我们事先对询问排序，那么对应的就是一个连续的区间了，由于 Trie 深度最高 \(\log\)，因此连续段也不超过 \(\log\) 个
因此，本题的方案就是：对询问建立 Trie 树，找到询问区间，然后直接线段树分治即可
按照题目给的 “每个人只能投给父节点” 投票，我们可以通过二分答案计算出一个最大得票数量的最小值（意思就是把票尽可能均摊给每个人，让得票最多的那个人得的最小），记这个值为 \(s\)
记一个节点的子树大小为 \(s_i\)（不包含自己，因为自己无法给自己投票），现在我们要想让 \(i\) 赢，可以分成以下情况：
- \(s_i\gt s\)，然而我们刚才得到的最大的票数量是 \(s\)，说明 \(i\) 最多只拿了 \(s\) 票，那么子树内就一定存在节点将票投给了 \(i\) 的祖先，现在这些节点将票收回来，都投给 \(i\)，\(i\) 的票数只会增加（并最终大于 \(s\)，因为 \(s_i\gt s\)），祖先的票数只会减少，最终 \(i\) 可能是胜出者
- \(s_i\lt s\)，和上述情况类似，即使子树内所有票都投给了 \(i\)，仍然不满足 \(s_i\ge s\)，而子树内更不可能有 \(s_i\ge s\) 的节点，但是现最大票数为 \(s\)，说明子树外一定有票数为 \(s\) 的节点，\(i\) 一定失败
- \(s_i=s\)，此时需要特殊判断，这种情况下 \(i\) 想要胜出，可以先钦定最大票数只有 \(s-1\) 票，这样多出来的票会汇集到根节点，此时钦定 \(i\) 获得了 \(s\) 票，并且由于子树外最大票数是 \(s-1\) 票，因此 \(i\) 自己那一票只能直接传到根节点，否则不会胜利
