[68] (NOIP集训) NOIP2024 加赛 5

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恐将成为我改题时间最长的一场（也是分最低的一场）

码长断崖式领先了

首先你肯定要让小于（等于）中位数的数变小，将较大的值变小是毫无意义的，因为即使你完全不管他们，也不会对答案造成任何影响，白白浪费费用

可以考虑二分答案枚举中位数是啥，然后尝试将前半段每个数都除到中位数以下，计算最小花费

可以注意到的是，如果一个数 $a_{i}$ 除以 $x$ 能到达中位数以下，那么 $\geq x$ 的数都能做到，这告诉我们两点：一是可以二分答案求解这个 $x$ ，二是我们应该在所有这些合法的里面取一个费用最小值，对费用做后缀 $min$ 即可

然后由整除分块经典结论， $⌊ \frac{⌊ \frac{a}{b} ⌋}{c} ⌋ = ⌊ \frac{a}{b c} ⌋$ ，因此有可能提供的这个花费并不是最优花费，比如如果 $c o s t_{6} > c o s t_{2} + c o s t_{3}$ ，这时用 $6$ 就不如用 $2$ 和 $3$ ，因此考虑分解其质因数，用质因数花费之和来更新当前值的花费

需要注意的是值域并不只到 $V$ ，一个 hack 是 $V$ 很小， $a_{i}$ 很大，值域开小了可能出现超过二分上界的问题（即一个数需要被除很多次）

线段树分治

按照线段树分治的思路直接做

这道题的难点在找到操作会影响哪些区间，上个结论

操作影响的区间一定形如若干连续段，且连续段不超过 $\log$ 个

证明：考虑拆位，操作 $s$ 满足 $s xor x < K$ ，当且仅当存在某一位 $i$ ，使得对于任意更高位 $j$ ， $s_{j} xor x_{j} = K_{j}$ ，且 $s_{i} xor x_{i} = 1, K_{i} = 0$

如果我们对询问建一颗 Trie 树，符合要求的询问一定对应 Trie 上某个子树，如果我们事先对询问排序，那么对应的就是一个连续的区间了，由于 Trie 深度最高 $\log$ ，因此连续段也不超过 $\log$ 个

因此，本题的方案就是：对询问建立 Trie 树，找到询问区间，然后直接线段树分治即可

按照题目给的 “每个人只能投给父节点” 投票，我们可以通过二分答案计算出一个最大得票数量的最小值（意思就是把票尽可能均摊给每个人，让得票最多的那个人得的最小），记这个值为 $s$

记一个节点的子树大小为 $s_{i}$ （不包含自己，因为自己无法给自己投票），现在我们要想让 $i$ 赢，可以分成以下情况：

$s_{i} > s$ ，然而我们刚才得到的最大的票数量是 $s$ ，说明 $i$ 最多只拿了 $s$ 票，那么子树内就一定存在节点将票投给了 $i$ 的祖先，现在这些节点将票收回来，都投给 $i$ ， $i$ 的票数只会增加（并最终大于 $s$ ，因为 $s_{i} > s$ ），祖先的票数只会减少，最终 $i$ 可能是胜出者
$s_{i} < s$ ，和上述情况类似，即使子树内所有票都投给了 $i$ ，仍然不满足 $s_{i} \geq s$ ，而子树内更不可能有 $s_{i} \geq s$ 的节点，但是现最大票数为 $s$ ，说明子树外一定有票数为 $s$ 的节点， $i$ 一定失败
$s_{i} = s$ ，此时需要特殊判断，这种情况下 $i$ 想要胜出，可以先钦定最大票数只有 $s - 1$ 票，这样多出来的票会汇集到根节点，此时钦定 $i$ 获得了 $s$ 票，并且由于子树外最大票数是 $s - 1$ 票，因此 $i$ 自己那一票只能直接传到根节点，否则不会胜利

posted @ 2024-11-20 12:15 HaneDaniko 阅读(22) 评论(0) 编辑收藏举报

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