[54] (多校联训) A层冲刺NOIP2024模拟赛12

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省流：

B 先生推行了一项措施，这项措施里有一部分 a 是对的，另一部分 b 是错的，钦定 |a|<|b|

如果 A 不满意 B 先生的措施，可以这样做：

  • 直接向 B 先生寻求探讨：A 向 B 先生理性阐述了 b 部分的危害，B 先生表示已经知道 b 部分的存在，同时反复强调 a 的重要性，A 被 B 先生告知不喜欢可以滚蛋，A 被 B 先生完爆
  • 向 B 先生跳脸：A 将遭受 B 先生强度更大的跳脸，A 被 B 先生完爆
  • 尝试独立：A 被 B 先生告知别人都能忍，为什么你忍不了，最终 B 先生以从众为由强制 A 服从，A 被 B 先生完爆

总结：B 先生一意孤行，意图在全社会推行帝国主义制度，复辟帝制

推论：无敌的傻逼是最可怕的

A.Alice 和璀璨花

n3 的一个做法

设 fi,j 表示选了 i 个，上一个选了 j

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
template<typename T>void ignored(T x){}
int n;
int a[1001];
int b[1001];
int f[1001][1001];
signed main(){
    ignored(freopen("alice.in","r",stdin));
    ignored(freopen("alice.out","w",stdout));
    ignored(scanf("%lld",&n));
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ignored(scanf("%lld",&a[i]));
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        ignored(scanf("%lld",&b[i]));
    }
    for(int i=0;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<=n;++j){
            f[i][j]=-0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
        }
    }
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=n;++i) f[0][i]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) f[1][i]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        for(int j=i;j<=n;++j){
            for(int k=i-1;k<j;++k){
                if(a[k]*b[i-1]<a[j]){
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][k]+1);
                    ans=max(ans,f[i][j]);
                }
            }
        }
    }
    cout<<ans<<'\n';
}

题解 n2 做法

设 fi,j 表示考虑到第 i 个数，当前选择的长度为 j 的最小值

这个状态设计和最长上升子序列很像，这么做的正确性可以考虑贪心证明

那么 fi,j 的转移有两种来源：

  • 不选 ai，从 fi−1,j 转移来
  • 选 ai，从 ai 转移来
点击查看代码 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
template<typename T>void ignored(T x){}
int n;
int a[1001],b[1001];
int f[1001][1001];
signed main(){
	freopen("alice.in","r",stdin);
	freopen("alice.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%lld",&a[i]);
	}	
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%lld",&b[i]);
	}
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	for(int i=0;i<=n;++i) f[i][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=i;++j){
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if(f[i-1][j-1]<0x3f3f3f3f3f3f3f3f and a[i]>f[i-1][j-1]*b[j-1]){
				f[i][j]=min({f[i][j],a[i]});
			}
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;--i){
		for(int j=1;j<=n;++j){
			if(f[j][i]<0x3f3f3f3f3f3f3f3f){
				cout<<i<<endl;
				return 0;
			}
		}
	}
}

同理，可以压到一维

点击查看代码 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
template<typename T>void ignored(T x){}
int n;
int a[1000001],b[1000001];
int f[1000001];
signed main(){
	freopen("alice.in","r",stdin);
	freopen("alice.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%lld",&a[i]);
	}	
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%lld",&b[i]);
	}
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=i;j>=1;--j){
			if(f[j-1]<0x3f3f3f3f3f3f3f3f and a[i]>f[j-1]*b[j-1]){
				f[j]=min(f[j],a[i]);
			}
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;--i){
		if(f[i]<0x3f3f3f3f3f3f3f3f){
			cout<<i<<endl;
			return 0;
		}
	}
}

压到一维之后我们发现，f 数组始终是单调的，这意味着我们可以直接在 f 上二分找值，nlog⁡n 就做完了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
template<typename T>void ignored(T x){}
int n;
int a[1000001],b[1000001];
int f[1000001];
set<int>s;
signed main(){
	freopen("alice.in","r",stdin);
	freopen("alice.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%lld",&a[i]);
	}	
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%lld",&b[i]);
	}
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int tmp=upper_bound(f+1,f+i+1,a[i])-f-1;
		if(f[tmp]<0x3f3f3f3f3f3f3f3f and a[i]>f[tmp]*b[tmp]){
			f[tmp+1]=min(f[tmp+1],a[i]);
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;--i){
		if(f[i]<0x3f3f3f3f3f3f3f3f){
			cout<<i<<endl;
			return 0;
		}
	}
}

B.Bob 与幸运日

D.David 与和谐号

赛时想到迭代加深了，但是不会剪枝

赛时裸的迭代加深贴一下

点击查看代码 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>void ignored(T x){}
int n;
int a[30],b[30];
bool check(){//判断当前状态是否合法
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(a[i]!=i) return false;
    }
    return true;
}
bool dfs(int now,int lim){//当前旋转了 now 次，旋转上限是 lim
    if(now>lim) return false;
    if(check()) return true;
    for(int i=2;i<=n;++i){
            std::reverse(a+1,a+i+1);
            if(dfs(now+1,lim)) return true;
            std::reverse(a+1,a+i+1);
    }
    return false;
}
bool check(int ans){
    return dfs(0,ans);
}
int main(){
    ignored(freopen("david.in","r",stdin));
    ignored(freopen("david.out","w",stdout));
    int t;cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            cin>>b[i];
        }
        int ans=0;
        while(1){
            for(int i=1;i<=n;++i){
                a[i]=b[i];
            }
            if(check(ans)){//从小到大枚举旋转次数，判断是否合法
                cout<<ans<<'\n';
                break;
            }
            ans++;
        }
    }
}

迭代加深有点像广搜，为什么你深搜做不了最短路径的题，是因为深搜第一次碰到的合法状态不一定是最小的，只是最先碰到的，这个最先碰到的状态可能是一个比较深的节点

我们为了能让深搜做出这种最短路径题，可以对值域 V 做 V 遍深搜（有单调性亦可二分答案），每次限值搜索的深度，找出什么时候合法，这就是迭代加深

迭代加深效率显然是不如广搜的，但是它具有深搜那种可以直接在搜索中修改的优点，因此用的也比较多

这道题的剪枝

  • 可行性剪枝：题解的大力剪枝：每次翻转只会改变一对相邻数对，也就是说如果两个相邻的值在值域上不相邻，那么就一定要通过至少一次旋转来解决（值域相邻的值不一定需要对每个断点应用一次旋转，比如 321 可以只旋转一次到位，这是因为其满足了旋转后有序的必要条件，即旋转前也是有序的，但如果存在值域不相邻的数，如 2413 则一定需要对每个断点至少一次旋转）
  • 启发式剪枝：发现转一次之后再马上转回来一定不优，因此判掉这个枝
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>void ignored(T x){}
int n;
int a[30],b[30];
inline int check(){
	int res=0;
    for(int i=1;i<=n-1;++i){
        if(abs(a[i]-a[i+1])!=1) res++;
    }
    return res+(a[n]!=n);  //这里一定要注意 n 是不是在自己位置上，可能导致下面 tmp==0 错判
}
bool dfs(int now,int lim,int last){
    int tmp=check();
    if(now+tmp>lim) return false;
	if(now==lim) return tmp==0;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(i!=last){
            std::reverse(a+1,a+i+1);
            if(dfs(now+1,lim,i)) return true;
            std::reverse(a+1,a+i+1);
        }
    }
    return false;
}
inline bool check(int ans){
    return dfs(0,ans,0);
}
int main(){
    ignored(freopen("david.in","r",stdin));
    ignored(freopen("david.out","w",stdout));
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;++i){
           scanf("%d",&b[i]);
        }
        int ans=0;
        while(1){
            for(int i=1;i<=n;++i){
                a[i]=b[i];
            }
            if(check(ans)){
                cout<<ans<<'\n';
                break;
            }
            ans++;
        }
    }
}
这是什么

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