[49 & 50] (多校联训) A层冲刺NOIP2024模拟赛08 | CSP-S 模拟 12

合集 - 赛事(59)

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46.[49 & 50] (多校联训) A层冲刺NOIP2024模拟赛08 | CSP-S 模拟 122024-10-18

47.[51] (多校联训) A层冲刺NOIP2024模拟赛092024-10-19 48.Atcoder Beginner Contest 3762024-10-20 49.Codeforces Round 980 (Div. 2)2024-10-20 50.[54] (多校联训) A层冲刺NOIP2024模拟赛122024-10-24 51.[57] (多校联训) A层冲刺NOIP2024模拟赛152024-10-29 52.[61] (多校联训) A层冲刺NOIP2024模拟赛182024-11-05 53.[62] (NOIP 集训) NOIP2024加赛 22024-11-06 54.[63] (多校联训) A层冲刺NOIP2024模拟赛192024-11-07 55.[68] (炼石计划) NOIP 模拟赛 #202024-11-14 56.[68] (NOIP集训) NOIP2024 加赛 52024-11-20 57.[72] (多校联训) A层冲刺NOIP2024模拟赛252024-11-22 58.[73] (NOIP集训) NOIP2024 加赛 72024-11-22 59.[75] (NOIP集训) NOIP2024 加赛 82024-11-27

一小孩在奶茶店玩封盖机被绞断四根手指

记者：你现在感觉怎么样
小孩：👍

不是哥们 P 的，你可以自己去 hdk吧找

我左手中指指甲里莫名其妙卡了个木刺

医生 1：（打手电筒）
医生 2：（尝试把刺弄出来）

医生 2：诶呀，断了

医生 2：你就这么想拔这个刺吗
我：这不拔能行？
医生 2：你看你这个也不深，长一周自己就掉了
我：不会发炎吗
医生 1：发炎了那不更好弄出来了吗，而且到时候发炎我们就能处理了，你现在这玩意我们也处理不了啊
医生 2：你让它自求多福去就行了
我：？？？

Ciallo～(∠・ω< )⌒★

咱们集资，到秦皇岛给 CTH 买条裙子，意下如何

[48] C.距离

补一下式子

\begin{aligned} max (| a_{i} - a_{j} |, | b_{i} - b_{j} |) & = | \frac{a_{i} + b_{i}}{2} - \frac{a_{j} + b_{j}}{2} | + | \frac{a_{i} - b_{i}}{2} - \frac{a_{j} - b_{j}}{2} | \\ = | \frac{(a_{i} - a_{j}) + (b_{i} - b_{j})}{2} | + | \frac{(a_{i} - a_{j}) - (b_{i} - b_{j})}{2} | \\ = {\begin{cases} \frac{(a_{i} - a_{j}) + (b_{i} - b_{j})}{2} + \frac{(a_{i} - a_{j}) - (b_{i} - b_{j})}{2} = a_{i} - a_{j} & a_{i} - a_{j} \geq b_{i} - b_{j} \\ \frac{(a_{i} - a_{j}) + (b_{i} - b_{j})}{2} + \frac{(b_{i} - b_{j}) - (a_{i} - a_{j})}{2} = b_{i} - b_{j} & otherwise \end{cases} \end{aligned}

\begin{aligned} min (| a_{i} - a_{j} |, | b_{i} - b_{j} |) & = | a_{i} - a_{j} | + | b_{i} - b_{j} | - max (| a_{i} - a_{j} |, | b_{i} - b_{j} |) \\ = a_{i} - a_{j} | + | b_{i} - b_{j} | - | \frac{a_{i} + b_{i}}{2} - \frac{a_{j} + b_{j}}{2} | - | \frac{a_{i} - b_{i}}{2} - \frac{a_{j} - b_{j}}{2} | \end{aligned}

[49] A.传送

首先发现横坐标或纵坐标相等的点之间移动不需要费用，因此考虑对横纵坐标拉出来建虚点

然后发现其实不用对横纵坐标建虚点，只需要把横坐标或纵坐标相邻的点连边即可

所以排序后直接连

正常边正常连即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
struct edge{
    int to,w;
};
vector<edge>e[200001];
int x[200001],y[200001];
int id[200001];
inline static int cal(int i,int j)noexcept{
    return min(abs(x[i]-x[j]),abs(y[i]-y[j]));
}
int dis[200001];
bool vis[200001];
struct node{
    int id,dis;
    bool operator <(const node &A)const{
        return dis>A.dis;
    }
};
priority_queue<node>q;
inline void dij(int s){
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    dis[s]=0;
    q.push({s,dis[s]});
    while(!q.empty()){
        node u=q.top();q.pop();
        if(vis[u.id]) continue;
        vis[u.id]=true;
        for(edge i:e[u.id]){
            if(dis[i.to]>dis[u.id]+i.w){
                dis[i.to]=dis[u.id]+i.w;
                q.push({i.to,dis[i.to]});    
            }
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d %d",&x[i],&y[i]);
    }
    iota(id+1,id+n+1,1);
    sort(id+1,id+n+1,[](int a,int b){return x[a]<x[b];});
    for(int i=2;i<=n;++i){
        e[id[i-1]].push_back({id[i],cal(id[i],id[i-1])});
        e[id[i]].push_back({id[i-1],cal(id[i],id[i-1])});
    }
    sort(id+1,id+n+1,[](int a,int b){return y[a]<y[b];});
    for(int i=2;i<=n;++i){
        e[id[i-1]].push_back({id[i],cal(id[i],id[i-1])});
        e[id[i]].push_back({id[i-1],cal(id[i],id[i-1])});
    }
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x,y,z;scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
        e[x].push_back({y,z});
        e[y].push_back({x,z});
    }
    dij(1);
    for(int i=2;i<=n;++i) cout<<dis[i]<<" ";
}

[49] B.排列

如果两个数 $a, b$ 满足 $gcd (a, b) = k$ ，则一定会有 $a = m_{1} k, b = m_{2} k, (m_{1}, m_{2} \in Z)$

所以只有 $i ∣ k$ 的 $\frac{n}{k}$ 个 $i$ 对答案有用，而题目保证 $\frac{n}{k} \leq 10$

因此状压， $f_{i, j, k}$ 设选到 $i$ ，当前在 $\frac{n}{k}$ 个数中的的选数状态为 $j$ ，上一个选了 $k$ 的方案数（注意到选不在 $\frac{n}{k}$ 中的数的本质都是一样的，因此统一视作 $0$ ）

或者记搜亦可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int p=998244353;
int f[3001][1<<10][11];
int n,k,tot;
int maxn;
long long dfs(int now,int choose,int lastchoose){
    if(now>n) return (choose==maxn);
    if(f[now][choose][lastchoose]!=-1) return f[now][choose][lastchoose];
    int tmp=__builtin_popcount(choose);
    if(n-now+1<tot-tmp) return 0;
    long long res=0;
    for(int i=0;i<=tot-1;++i){
        if((choose&(1<<i))==0){
            if(lastchoose==0 or __gcd(k*lastchoose,k*(i+1))!=k){
                res+=dfs(now+1,choose|(1<<i),i+1);            
                res%=p;
            }
        }
    }
    res+=dfs(now+1,choose,0);
    res%=p;
    return f[now][choose][lastchoose]=res;
}
long long fact(long long n){
    long long ans=1;
    for(int i=2;i<=n;++i) ans=ans*i%p;
    return ans;
}
signed main(){
    memset(f,-1,sizeof f);
    cin>>n>>k;
    tot=n/k;
    maxn=(1<<tot)-1;
    cout<<dfs(1,0,0)*fact(n-tot)%p;
}

[49] C.战场模拟器

护盾与死亡不会太多，只要遇到直接暴力处理即可
线段树维护当前区间最小非负血量及其数量（濒死的计数时用），护盾总数，死亡总数
扣血：只要遇到存在护盾或者即将有人死亡的区间（可以通过区间最小值判断）就暴力递归，否则区间减
回血：直接区间加即可
加护盾：线段树单点修改
查询死亡：直接区间查询
查询濒死：即查询最小值为 $0$ 的区间计数总和，仍然是区间查询
注意人死后直接赋成极大值，不能太小，防止整体扣血之后再死一次，也不能太大，防止回血回炸了

从昨天下午调到现在，以为线段树错了，但是线段树一点错没有，错在极大值了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,q;
int a[200001];
struct tree{
    int l,r;
    int deadcnt;
    int minn,minncnt;
    int lazy;
    int safe;
}t[800001];
#define tol (id*2)
#define tor (id*2+1)
#define mid(l,r) mid=((l)+(r))/2
void update(int id){
    if(t[tol].minn==t[tor].minn){
        t[id].minn=t[tol].minn;
        t[id].minncnt=t[tol].minncnt+t[tor].minncnt;
    }
    else if(t[tol].minn<t[tor].minn){
        t[id].minn=t[tol].minn;
        t[id].minncnt=t[tol].minncnt;
    }
    else{
        t[id].minn=t[tor].minn;
        t[id].minncnt=t[tor].minncnt;
    }
    t[id].deadcnt=t[tol].deadcnt+t[tor].deadcnt;
    t[id].safe=t[tol].safe+t[tor].safe;
}
void build(int id,int l,int r){
    t[id].l=l;t[id].r=r;
    if(l==r){
        t[id].minn=a[l];
        t[id].minncnt=1;
        return;
    }
    int mid(l,r);
    build(tol,l,mid);
    build(tor,mid+1,r);
    update(id);
}
void pushdown(int id){
    if(t[id].lazy){
        t[tol].lazy+=t[id].lazy;
        t[tor].lazy+=t[id].lazy;
        t[tol].minn+=t[id].lazy;
        t[tor].minn+=t[id].lazy;
        t[id].lazy=0;
    }
}
void change(int,int,int,int);
void bl_change(int id,int l,int r,int val){
    if(t[id].l==t[id].r){
        if(t[id].deadcnt);
        else if(val<0 and t[id].safe) t[id].safe--;
        else{
            t[id].minn+=val;
            if(t[id].minn<0){
                t[id].deadcnt=1;
                t[id].minn=1e18;
                t[id].minncnt=0;
            }
        }
        return;
    }
    pushdown(id);
    if(t[tol].safe or t[tol].minn+val<0) bl_change(tol,l,t[tol].r,val);
    else change(tol,l,t[tol].r,val);
    if(t[tor].safe or t[tor].minn+val<0) bl_change(tor,t[tor].l,r,val);
    else change(tor,t[tor].l,r,val);
    update(id);
}
void change(int id,int l,int r,int val){
    if(l<=t[id].l and t[id].r<=r){
        if(val>=0 or (t[id].safe==0 and t[id].minn+val>=0)){
            t[id].lazy+=val;
            t[id].minn+=val;
            return;
        }
        bl_change(id,l,r,val);
        return;
    }
    pushdown(id);
    if(r<=t[tol].r) change(tol,l,r,val);
    else if(l>=t[tor].l) change(tor,l,r,val);
    else{
        change(tol,l,t[tol].r,val);
        change(tor,t[tor].l,r,val);
    }
    update(id);
}
void change_safe(int id,int p,int val){
    if(t[id].l==t[id].r){
        if(!t[id].deadcnt){
            t[id].safe++;
        }
        return;
    }
    pushdown(id);
    if(p<=t[tol].r) change_safe(tol,p,val);
    else change_safe(tor,p,val);
    update(id);
}
int askdead(int id,int l,int r){
    if(l<=t[id].l and t[id].r<=r){
        return t[id].deadcnt;
    }
    pushdown(id);
    if(r<=t[tol].r) return askdead(tol,l,r);
    else if(l>=t[tor].l) return askdead(tor,l,r);
    else return askdead(tol,l,t[tol].r)+askdead(tor,t[tor].l,r);
}
int askdying(int id,int l,int r){
    if(l<=t[id].l and t[id].r<=r){
        if(t[id].minn==0){
            return t[id].minncnt;
        }
        return 0;
    }
    pushdown(id);
    if(r<=t[tol].r) return askdying(tol,l,r);
    else if(l>=t[tor].l) return askdying(tor,l,r);
    else return askdying(tol,l,t[tol].r)+askdying(tor,t[tor].l,r);
}
signed main(){
    freopen("simulator.in","r",stdin);
    freopen("simulator.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    build(1,1,n);
    scanf("%lld",&q);
    while(q--){
        int opt;scanf("%lld",&opt);
        if(opt==1){
            int l,r,x;scanf("%lld %lld %lld",&l,&r,&x);
            change(1,l,r,-x);
        }
        if(opt==2){
            int l,r,x;scanf("%lld %lld %lld",&l,&r,&x);
            change(1,l,r,x);
        }
        if(opt==3){
            int h;scanf("%lld",&h);
            change_safe(1,h,1);
        }
        if(opt==4){
            int l,r;scanf("%lld %lld",&l,&r);
            printf("%lld\n",askdead(1,l,r));
        }
        if(opt==5){
            int l,r;scanf("%lld %lld",&l,&r);
            printf("%lld\n",askdying(1,l,r));
        }
    }
}

[50] A.小 h 的几何

三角形三边的中点、三条高的垂足、三角形三个顶点与垂心连线的中点共九个点共圆
三角形 ${(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})}$ 唯一确定的符合上述要求的圆的圆心为 $(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{2})$

第一条挺神奇的，先不证明了，晚上有空补

第二条的证明：

对不起，脑子锈住了，不会几何，只能这么证了

设中点 $D (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2}), E (\frac{x_{1} + x_{3}}{2}, \frac{y_{1} + y_{3}}{2}), F (\frac{x_{2} + x_{3}}{2}, \frac{y_{2} + y_{3}}{2})$

则 ${mid}_{D E} (\frac{2 x_{1} + x_{2} + x_{3}}{4}, \frac{2 y_{1} + y_{2} + y_{3}}{4}), {mid}_{E F} (\frac{x_{1} + x_{2} + 2 x_{3}}{4}, \frac{y_{1} + y_{2} + 2 y_{3}}{4})$

l_{D E} : y = \frac{y_{2} - y_{3}}{x_{2} - x_{3}} x + \frac{y_{1} + y_{2}}{2} - \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{2} - x_{3}} \times \frac{y_{2} - y_{3}}{2}

l_{E F} : y = \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} x + \frac{y_{1} + y_{3}}{2} - \frac{x_{1} + x_{3}}{x_{1} - x_{2}} \times \frac{y_{1} - y_{2}}{2}

\begin{array}{r} {\begin{cases} \frac{1}{l_{D E}} \\ {mid}_{D E} \end{cases} \to l_{3} : y = \frac{x_{2} - x_{3}}{y_{2} - y_{3}} x + \frac{2 y_{1} + y_{2} + y_{3}}{4} - \frac{x_{2} - x_{3}}{y_{2} - y_{3}} \times \frac{2 x_{1} + x_{2} + x_{3}}{4} \\ {\begin{cases} \frac{1}{l_{E F}} \\ {mid}_{E F} \end{cases} \to l_{4} : y = \frac{x_{1} - x_{2}}{y_{1} - y_{2}} x + \frac{y_{1} + y_{2} + 2 y_{3}}{4} - \frac{x_{1} - x_{2}}{y_{1} - y_{2}} \times \frac{x_{1} + x_{2} + 2 x_{3}}{4} \end{array}

联立

\begin{aligned} x & = \frac{\frac{y_{1} + y_{2} + 2 y_{3}}{4} - \frac{x_{1} - x_{2}}{y_{1} - y_{2}} \times \frac{x_{1} + x_{2} + 2 x_{3}}{4} - \frac{2 y_{1} + y_{2} + y_{3}}{4} + \frac{x_{2} - x_{3}}{y_{2} - y_{3}} \times \frac{2 x_{1} + x_{2} + x_{3}}{4}}{\frac{x_{2} - x_{3}}{y_{2} - y_{3}} - \frac{x_{1} - x_{2}}{y_{1} - y_{2}}} \\ = \frac{(y_{3} - y_{1}) (y_{1} - y_{2}) (y_{2} - y_{3}) - (x_{1} - x_{2}) (y_{2} - y_{3}) (x_{1} + x_{2} + 2 x_{3}) + (y_{1} - y_{2}) (x_{2} - x_{3}) (2 x_{1} + x_{2} + x_{3})}{4 [(y_{1} - y_{2}) (x_{2} - x_{3}) - (y_{2} - y_{3}) (x_{1} - x_{2})]} \\ = \frac{y_{1} x_{1} x_{2} - y_{1} x_{1} x_{3} - x_{1}^{2} y_{2} - x_{1}^{2} y_{3} + y_{1} x_{2}^{2} + x_{2} x_{3} y_{2} - y_{2} x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} y_{3} - y_{1} x_{3}^{2} + x_{3}^{2} y_{2} - x_{1} y_{3} x_{3} + x_{2} x_{3} y_{3}}{2 (y_{1} x_{2} - y_{1} x_{3} + x_{3} y_{2} - y_{2} x_{1} - x_{1} y_{3} + x_{2} y_{3})} \\ = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{2} \end{aligned}

所以直接统计每个数在和式的出现次数，发现全部是定值 $\frac{(n - 1) (n - 2)}{2}$ ，因此直接加和即可

代码里将 $\frac{(n - 1) (n - 2)}{2}$ 和 $\frac{6}{n (n - 1) (n - 2)}$ 提前做了一点约分

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long double pi=acos(-1);
struct node{
    public:long double x,y;
    node(){}
    node(long double xp,long double yp){x=xp;y=yp;}
    node operator +(node A){
        return node(x+A.x,y+A.y);
    }
    node operator +=(node A){
        return *this=*this+A;
    }
    node operator *(long double dx){
        return node(x*dx,y*dx);
    }
    node operator *=(long double dx){
        return *this=*this*dx;
    }
};
int n;
node a[500001];
long long theta;
node ans;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%lld",&theta);
        a[i].x=cos(theta*pi/1e9);
        a[i].y=sin(theta*pi/1e9);
        ans+=a[i];
    }
    ans*=(3.0/(n*2.0));
    printf("%.20Lf %.20Lf",ans.x,ans.y);
}