[OI] 猫树

合集 - OI(25)

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概述

猫树是一种与线段树类似的数据结构

线段树在解决不带修区间问题时，对于单次查询是 $O(\log )$ 的，此时运用猫树就可以将单次查询的复杂度降到 $O(1)$

合理运用分块的思想，在区间内分块，思考我们在块上查询的过程

设黑色的线段为整个区间，红色的线段为查询区间，黑色线段中间的凸起为中点

既然我们能在线段树上做，那么该问题一定具有区间可合并性

那么我们可以预处理出中点前的节点到中点的区间信息（后缀和）和中点后的节点到中点的区间信息（前缀和），这样就可以快速求解跨中点的查询

比如，假设查询 $[l,r](l<mid<r)$，则有 $[l,r]=[l,mid]+[mid,r]$，因此我们可以快速求出答案

然而到这里我们并没有办法求解不跨中点的查询，因此我们就需要结合线段树了

尝试对区间建立一颗线段树，然后在线段树每个节点上都建立这样一个前缀+后缀的组合，这样，在遇到不跨中点的查询的时候，直接转到下一层，直到这个查询变成跨中点的查询为止

猫树的好处是，最多只会进行一次合并操作，在合并复杂度较高的维护信息中可能会比较好用

例题（待完善）

[SPOJ GSS1] Can you answer these queries I

对若干询问区间求区间内最大子段和（$max\sum _{i=l}^r{a}_i$）

[P6240] 好吃的题目

区间 01 背包

看到一个很抽象的公式

$$\underset{\varphi }{min}\sum _{i=1}^n{\mathbb{E}}_{t\sim \mathcal{U}(0,1),ϵ\sim \mathcal{N}(0,I),c\sim p(c)}[||{ϵ}_{\varphi }({\alpha }_{t}g({\theta }^{(i)},c)+{\sigma }_tϵ,t,c,y)-ϵ|{|}_2^2]$$