[CL-22] 异或和之和

合集 - 题解(24)

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CL-22

二进制拆分。

对于枚举到的每一个二进制位 $i$，注意到其对答案的贡献只有 $0$ 和 $2^i$ 两种情况

考虑什么时候贡献是 $2^i$，可以发现，当选入奇数个该位为 $1$ 的数之后，对答案的贡献是 $2^i$

因此变成求选出奇数个为 $1$ 的数的方案数

设该位为 $1$ 的数有 $a$ 个，为 $0$ 的数有 $b$ 个，答案为 $2^b\times \sum _{i\in \{1,3,5,7\cdots \}}^a{C}_a^i$

这样就可以做了，但是还有一个进一步的结论

$$\sum _{i\in \{1,3,5,7\cdots \}}^a{C}_a^i=2^{a-1}$$

不会证明，但是它是对的

复杂度 $n\log (2^{31})$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int p=1e9+7;
int power(int a,int t){
	int base=a,ans=1;
	while(t){
		if(t&1){
			ans=ans*base%p;
		}
		base=base*base%p;
		t>>=1;
	}
	return ans;
}
int n;
int a[1000001];
int cnt0[33],cnt1[33];
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>a[i];
		for(int j=1;j<=32;++j){
			if(a[i]&1){
				cnt1[j]++;
			}
			else{
				cnt0[j]++;
			}
			a[i]>>=1;
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=32;++i){
		if(!cnt1[i]) continue;		
		ans+=power(2,cnt1[i]-1)*power(2,cnt0[i])%p*power(2,i-1)%p;
		ans%=p;
	}
	cout<<ans<<endl;
}