[OI] 莫比乌斯函数与莫比乌斯反演
9. 莫比乌斯函数与莫比乌斯反演
9.1 莫比乌斯函数
9.1.1 定义
设 \(\mu\) 为莫比乌斯函数,则有:
直观地说,只要 \(x\) 的某个质因子出现的次数超过一次,则有 \(\mu(x)=0\),否则,\(mu(x)\) 即为 \((-1)^{t}\),其中 \(t\) 为 \(x\) 的质因数总数.
9.1.2 性质
\(No.9121\) \(\forall (i,j)=1\rightarrow\mu(i\times j)=\mu(i)\times \mu(j)\)
若 \(\mu(A)=1\),则有 \(\mu(A)\times \mu(B)=1\times \mu(B)=\mu(1\times B)\),结果成立
若 \(\mu(A)=0\),则有 \(\mu(A)\times\mu(B)=0\),结果成立
否则设 \(A=\prod_{i\in prime}i,B=\prod_{j\in prime}j\ (\forall i\neq j)\),则有 \(\mu(A)\times\mu(B)=\mu(A\times B)\)
\(No.9122\)
\(n=0\) 时,原式等于 \(0\)
\(n=1\) 时,原式等于 \(\mu(1)=1\)
否则,设 \(n\) 的唯一分解式为 \(n=\prod_{1\le i\le k}p_{i}^{a_{i}}\),由 \(\mu(n)\neq 0\) 知 \(\forall a_{i}=1\)
显然,\(\forall d\mid n\),有 \(i\) 个质因子的数 \(d\) 有 \(C^{i}_{k}\) 种组合情况,每种组合的值为 \((-1)^{i}\),即:
使用二项式定理转化:
发现此时在定义域 \((k\neq 0)\) 内恒为 \(0\),易知当 \(n\gt 1\) 时,\(k_{n}\ge 1\),因此 \(\mu(n)=0\),证毕.
9.2 莫比乌斯反演
9.2.1 不完全结论
设
对于
考虑到
根据 \(No.9122\) 得出推导式:
代入有:
即:
将原式等价转换,可以得到
其中
(可以发现,在这里仅仅是将判断条件与枚举条件互相变换了,而答案是不变的)
在区间 \([1,\lfloor{\frac{n}{k}}\rfloor]\) 中,满足条件 \(d\mid i\) 的 \(i\) 有 \(\lfloor{\frac{n}{kd}}\rfloor\) 个,因此原式可化为
可以证明,当 \(d\gt \min(\lfloor{\frac{n}{k}}\rfloor,\lfloor{\frac{m}{k}}\rfloor)\) 时不存在解.
9.2.2 完全结论
博主去学卷积了,学完回来更